n番目の三角数をΔn,つまりΔn=n(n+1)/2とします。 Δa+Δb=Δcを満たす自然数a,b,cを三角ピタゴラス数と呼ぶことにします。 一組の三角ピタゴラス数から無数の三角ピタゴラス数を見つける方法を思いつきました。 Δa+Δb=Δc、s=2(a+b-c)+1とするとき、 Δ(a-s)+Δ(b-…

「２組のピタゴラス数の積」で言ったようなことが、もっと他にも言えることに気付いたので投稿します。 a[1],b[1],c[1]とa[2],b[2],c[2]をピタゴラス数、 つまり a[1]^2+b[1]^2=c[1]^2,a[2]^2+b[2]^2=c[2]^2 となっていて且つa[1].b[1],c[1],a[2],b[2],c[2]…

a^2+b^2+c^2=d^2,a+b=dのとき、 (a+c)^2+(b+c)^2=(d+c)^2となっていることに気付きました。 四平方からピタゴラス数が作れることがあるということです。 「四平方の親子関係」で書いた四平方操作を、ピタゴラス数にしてみます。 a^2+b^2+0^2=d^2に四平方操作…

a,b,c,dを自然数、a^2+b^2+c^2=d^2,Ω=a+b+c-dとするとき、 (Ω-a)^2+(Ω-b)^2+(Ω-c)^2=(Ω-d)^2となっていることに気付きました。 a^2+b^2+c^2=d^2というように、3つの平方数の和で表せる平方数の式を四平方と呼ぶことにすると、一つの四平方から新たな四平方が…

a,b,cをピタゴラス数、つまりa,b,cはa^2+b^2=c^2を満たす互いに素な自然数とする f(x)=(x+a)^2+(x+b)^2-(x+c)^2という関数を考えることで、新たなピタゴラス数や3つの整数の平方の和で表せる平方数が出てくることに気付きました。 では書いていきます f(x)=x…

演算☆,♡を a☆b=(a+1)+(b+1)-1=a+b+1 a♡b=(a+1)(b+1)-1=a+b+ab と定義する。 {0,1,……,p-1}(mod p)(pは素数)において☆を加法、♡を乗法とするとき、 {0,1,……,p-1}は加法の単位元が(p-1),乗法の単位元が0の体になることに気付きました。 証明もできたので概要を…

a,bを互いに素な自然数の定数、 F(n)が、F(n)+F(n+1)=F(n+2)(また、F(1),F(2)は自然数、F(1)≠F(2))を満たし、 J(n),K(n)を0以上F(n)以下 (ただしF(n)＜aあるいはF(n)＜bとなっているときは、F(n)以下という条件を変えて、a以下あるいはb以下という条件にする…

演算＠を a@b=a+ab+b と定義するとき、 {0,1,……,p-2}(mod p)(pは素数)は＠に関して巡回群になっていることに気付きました。 ここから先mod pは省略します 逆元と単位元が存在し、結合法則が成り立ち、与えられた演算に関して閉じていれば群と呼ぶのでした。 …

パスカルの三角形は １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものでした。 今回予想したことは、パスカルの三角形の任意の段の隣…

a(n),b(n),c(n),d(n)を0以上の整数とする F(1)とF(2)を互いに素な自然数、F(1)+F(2)=F(3)とする F(n)×a(n)-F(n+1)×b(n)=(-1)^n, F(n)×c(n)-F(n+1)×d(n)=(-1)^(n-1) とするとき a(n),b(n),c(n),d(n)はそれぞれフィボナッチ型数列になる、と予想しました (ただ…

パスカルの三角形の上からn段目と、フィボナッチ数列のn番目までの各項の積をとり、すべて足すと隣り合うフィボナッチ数列の平方の和が現れると予想しました。 フィボナッチ数列は 1,1,2,3,5,8,13,…… というもので、 パスカルの三角形は １ １１ １２１ １３…

f(1)=1 f(1)×n+f(2)×(n-1)+……+f(n)×1=f(n+1) という数列f(n)がフィボナッチ数列とリュカ数列の積で表せると予想しました。 まず具体的に計算してみます。 f(1)=1 f(2)=f(1)×1=1 f(3)=f(1)×2+f(2)×1=2+1=3 f(4)=f(1)×3+f(2)×2+f(3)×1=3+2+3=8 f(5)=f(1)×4+f(2…

a番目の三角数をΔaと書くことにします。 Δa+Δb=Δcを満たすような自然数a,b,cの組を三角ピタゴラス数と呼ぶことにします。 今回考えた予想はこのようなものです。 自然数a,b,cがΔa+Δb=Δcを満たすとき、 a+bk=ckあるいはak+b=ckとなるような自然数kが必ず存在…

a≠0とし、 f(n)=a^n×nとするとき、 f(n)=-a^2×f(n-2)+2a×f(n-1) となっています。 証明は、f(n-1)=a^(n-1)×(n-1),f(n-2)=a^(n-2)×(n-2)をf(n)=-a^2×f(n-2)+2a×f(n-1)に代入すればできます。 面白いなぁと思います。 お読みいただきありがとうございました！

k番目の三角数、k(k+1)/2をΔkと書くことにします。 Δa+Δb=Δcのとき Δ(a+b)+Δ(a+c)+Δ(b+c)=Δ(a+b+c)+2Δc となっています。証明は展開すればすぐにできます。 a^2+b^2=c^2のとき (a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2=(a+b+c)^2+2c^2 となっていることと、とてもよく似てい…

a,b,c,dを自然数とします。 a^2+b^2+c^2=d^2となっているとき (a+d)^2+(b+d)^2+(c+d)^2=(a+b+c+d)^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 となっています。 証明はこれです↓ 両辺を展開して、 (左辺)=a^2+2ad+d^2+b^2+2bd+d^2+c^2+2cd+d^2 (右辺)=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2…

nを2以上の自然数とします。 ふたつの平方と等しいn個の平方和から、平方と等しいn+1個の平方和を作れそうなことに気付いたので投稿します。 a[k],b[k]を自然数とします。 a[1]^2+a[2]^2+……+a[n]^2=a[n+1]^2 b[1]^2+b[2]^2+……+b[n]^2=b[n+1]^2 となっていて…

1+1=2と3^2+4^2=5^2につながりがあり、そのつながりは一般のn角数の範囲まで及んでいることに気付いたので投稿します。 一応書いておくと、二乗した数とは、四角数のことでもあります。 また、m番目の二角数はmです。 m番目のn角数をA(n,m)と書くことにしま…

m番目のn角数をA(n,m)と書くことにします。 つまり、 A(2,m)=m A(3,m)=m(m+1)/2 A(4,m)=m^2 です。 ピタゴラス数を多角数の場合で見てみたときに面白いことが言えることに気付きました。 3^2+4^2=5^2を拡張して、 A(n,3)+A(n,4)+n-4=A(n,5) という等式が成り…

まず具体例を挙げます 0,1,4,9,16,25,36,…… つまり、f(n)=n^2という数列を考え、この数列の階差をとると 1,3,5,7,9,11,13,…… となります この数列の階差を更にとると、 2,2,2,2,2,2,2,…… となります。 これらを表の形に並べると 0,1,4,9,16,25,36……1,3,5,7, …

その３までの続きです。 (3,4,5)のaの子、(3,4,5)のaの子のaの子、……と、次々とaの子を並べていくと、 (3,4,5)→(5,12,13)→(7,24,25)→(9,40,41)→…… となります。 c-bは一貫して1です。 これのa+bをそれぞれ計算すると、 7,17,31,49,…… となり、この数列の隣り…

ピタゴラス数の表とは今までの記事で頻繁に書いてきた、 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (75,100,125) (8…

pを素数とする mod pにおける原始根がすべて現れる式を見つけたので投稿します。有名かもしれないですし、mod pにおける原始根をひとつは知っていないと作れない式なのですが…… nを整数とします。 例をまずあげます。 mod5における原始根は2,3でした。 これ…

タイトルの通りです。 m,nを自然数とし、m≠nとする 三角形の三辺の長さを(a,b,c)とするとき、 (a,b,c)=((2m-1)(2n-1),(m-1/2)^2+3(n-1/2)^2,|(m-n)(m+3n-2)|) を満たす三角形は、60度、120度いずれかの角を持ちます。 https://www.chart.co.jp/subject/sugak…

ピタゴラス数(a,b,c)のaの子を(d1,e1,f1)、 bの子を(d2,e2,f2)、 cの子を(d3,e3,f3)とする。 「ピタゴラス数の親子の関係 その２」で書いたように、 (ab)/12と(d1e1)/12の差、(ab)/12と(d2e2)/12の差、(ab)/12と(d3e3)/12の和、が、それぞれ平方数になるので…

ピタゴラス数(a,b,c)のaの子を(d1,e1,f1)、 bの子を(d2,e2,f2)、 cの子を(d3,e3,f3)とする。 (ab)/12と(d1e1)/12の差、(ab)/12と(d2e2)/12の差、(ab)/12と(d3e3)/12の和、が、それぞれ平方数になる、と予想しました。 また、 |(ab)/12-(d1e1)/12|=m^2 |(ab)/…

「二重ピタゴラス操作と行列」「二重ピタゴラス操作と行列 その２」の続きです。 ピタゴラス数(a,b,c)のaの子を(d1,e1,f1)とするとき、 d1+a=e1-b=f1-cが、 ピタゴラス数(a,b,c)のbの子を(d2,e2,f2)とするとき、 d2-a=e2+b=f2-cが、 ピタゴラス数(a,b,c)のc…

「二重ピタゴラス操作と行列」の続きです。 (a,b,c)をピタゴラス数(つまりa^2+b^2=c^2)とし、 (-a,b,c)に二重ピタゴラス操作を行うことで現れるピタゴラス数を(a,b,c)のaの子、 (a,-b,c)に二重ピタゴラス操作を行うことで現れるピタゴラス数を(a,b,c)のbの子…

まず１組のみのピタゴラス数で考えます。 a,b,cをピタゴラス数とすると、a^2+b^2=c^2から、 c^2+2ab=(a+b)^2 c^2-2ab=(a-b)^2が導けます。 同様にして、２組目のピタゴラス数をd,e,fとするとき cf+ae+bd,cf-ae-bdが平方数になることが導けます。 cf+ae+bdの…

ピタゴラス数の表とは今までの記事で頻繁に書いてきた、 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (75,100,125) (8…