「三角数とパスカルの三角形」のk角数への拡張です。 タイトルの、「k角数系パスカルの三角形」とは、「k角数系で構成されるパスカルの三角形」で書いたようなパスカルの三角形のことです。この記事を読む前に、先に「k角数系で構成されるパスカルの三角形」…

「パスカルの三角形的なものの足し引き その２」の拡張です。 パスカルの三角形とは １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなも…

今回は上の三つの数を足して下の数を作るパスカルの三角形を考えます。 １ 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1 このようなパスカルの三角形です。 その２のときと同じく、左からn番目の数をn倍し、それぞれ…

パスカルの三角形とは １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです それぞれの行で左からn番目の数に、nを掛けると 1 １ 2 …

パスカルの三角形とは １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです 左からn番目の数をnで割ったものを考えます 7行目の1,6,…

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cをピタゴラス数と言います。 これからa,b,cを３つ組のピタゴラス数と呼ぶことにします。 たとえば3^2+4^2=5^2なので、3,4,5は３つ組のピタゴラス数です。 自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすとし、a

ふたつの自然数を解に持つ二次方程式を特性方程式として見て、現れる数列を見ると面白いことになっているようなので投稿します。とは言っても、おそらく有名だとは思います。僕のように知らなかった人に面白がってもらえればなと。 1,2を解に持つ二次方程式…

パスカルの三角形の中央の数とは、 １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 上の図の太字の部分のことです。 これらの数だけをとりだして、…

カタラン数とは、数列として並べると 1,1,2,5,14,42,132,429,…… となるようなものです。詳細はwikiなどを見てください。 この数列で九九を作ると、 1 1 2 5 14 42 132 1 1 2 5 14 42 132 2 2 4 10 28 84 264 5 5 10 25 70 210 660 14 14 28 70 196 588 1848 …

すべての複素数は、実数+純虚数の形で一意に表せます。 また、すべての複素数は、正の数×単位円上の数の形でも一意に表せます(これからは単位円上の数を単位円と略すことにします)。 この、実数・純虚数のコンビと、正の数・単位円のコンビの関係性は、ある…

正の実数は、実数乗しても正の実数です。このことは指数関数を見れば明らかです。 単位円上の複素数(単位円の複素数とは、a,bを実数とするとき、a^2+b^2=1となっているようなa+biのこと)は、実数乗しても単位円上の複素数です。単位円上の複素数を実数乗する…

今回は正方形のマスに埋めるように渦を描きます。 ただし、0からではなく-1からはじめます。 41 42 43 44 45 46 47 48 40 19 20 21 22 23 24 49 39 18 ５ ６ ７ ８ 25 50 38 17 ４ -1 ０ ９ 26 51 37 16 ３２ １ 10 27 52 36 1514 13 12 11 28 53 35 34 33 3…

ある数に(-1)を足すと、ある数が偶数なら奇数に、ある数が奇数なら偶数に変わります。 ある数に(-1)を掛けると、ある数が正の数なら負の数に、ある数が負の数なら正の数に変わります。 ある数を(-1)乗すると、ある数の分母と分子が入れ替わります。 似ている…

その３と同じく正六角形のマスに埋めるように渦を描きます。 33 34 35 36 37 32 16 17 18 19 38 31 15 ５ ６ ７ 20 39 30 14 ４ ０ １ ８ 21 40 29 13 ３ ２ ９ 22 41 28 12 11 10 23 42 27 26 25 24 43 その３と同じ計算を、１を中心として行っても２乗が現…

その１その２とは違い、正方形のマスに埋めるように渦を描くのではなく、正六角形のマスに埋めるように渦を描きます。 33 34 35 36 32 16 17 18 19 31 15 ５ ６ ７ 20 30 14 ４ ０ １ ８ 21 29 13 ３ ２ ９ 22 28 12 11 10 23 27 26 25 24 ０から等距離にあ…

その１を読んでからお読みください。 その１と同じように数を渦状に並べます。 42 43 44 45 46 47 48 49 41 20 21 22 23 24 25 50 40 19 ６ ７ ８ ９ 26 51 39 18 ５ ０ １ 10 27 52 38 17 ４ ３ ２ 11 28 53 37 16 15 14 13 12 29 54 36 35 34 33 32 31 30 …

0以上の整数を小さい順に渦巻き状に並べていくと平方数、つまり整数を２乗した数が綺麗に並ぶことに気付いたので投稿します。とても簡単で、おそらく有名な事実だとは思います。 では数を渦状に並べます。 41 20 21 22 23 24 25 40 19 ６ ７ ８ ９ 26 39 18 …

木村俊一著『連分数のふしぎ(講談社)』を参考にさせていただきました。非常に面白い本なのでおすすめです。 まず純循環連分数の説明をします とは言っても、連分数をはてなブログでどうやって書いたらいいのか分からないので、連分数についてはググってもら…

aを2以上の自然数とします。 1/a+1/a^2+1/a^3+1/a^4+……=1/(a-1) となっています。この式は無限等比級数の和の公式として有名です。 分子を自然数にするとどうなるでしょうか？ つまり、 1/a+2/a^2+3/a^3+4/a^4+…… という式です。 これは実は無限等比級数の和…

aを2以上の自然数とする。 a^n-a^(n-1)+a^(n-2)-a^(n-3)+……a^0=f(n)とおくとき af(n)+(a-1)f(n+1)=f(n+2)になっていることに気付きました 例えば、a=2のとき f(0)=1 f(1)=2-1=1 f(2)=4-2+1=3 f(3)=8-4+2-1=5 f(4)=16-8+4-2+1=11 となって、2f(n)+f(n+1)=f(n+…

「九九の表の数をグループ分け」のパスカルの三角形バージョンです mizumiya-umi.hatenablog.com ではグループ分けを見ていきます 1段のみの場合は、1が含まれるグループと何も含まれないグループができるので、差は1 2段までのとき １ １１ 太字の数の和と…

九九の表のなかの数を2つのグループに分け、それぞれのグループのなかで総和をとって、現れた2つの数の差をとっていくと規則性が現れることに気付きました。 言葉では分かりづらいので、表を書きます。 1の段のみの九九の表は、1が含まれるグループと何も含…

九九をある模様の形にくり抜くと、その模様の中の数の和と模様の外の数の和が同じ、あるいは差が1だけにできることに気付きました。 では、九九の表を二等分する模様を紹介していきます。 3までの数の九九の表のとき 1 2 32 4 63 6 9 太字の数の和は1+2+2+4+…

まずパスカルの三角形を書きます。 １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 これを、頂点が入るように菱形状にくり抜き、和をとって1を足す…

「九九と2乗」の続きですが、2乗は出て来ません。 三角数の九九を考えてみます。n番目の三角数はn(n+1)/2です。 三角数の九九とは何かと言えば簡単で、掛ける数を自然数ではなく三角数にしただけです。 1 3 6 10 15 3 9 18 30 45 6 18 36 60 9010 30 60 100 …

まず、九九の表を書きます。 1 2 3 4 5 6 7 8 92 4 6 8 10 12 14 16 183 6 9 12 15 18 21 24 274 8 12 16 20 24 28 32 365 10 15 20 25 30 35 40 456 12 18 24 30 36 42 48 547 14 21 28 35 42 49 56 638 16 24 32 40 48 56 64 729 18 27 36 45 54 63 72 81 …

べき乗は群の条件を満たしていないので、どう条件を緩めたら群になるかを考えてみます。 べき乗を＊と書くことにします。 べき乗の演算を考えるので、a＊bという計算はaがmod p、bがmod p-1になってしまいます。(a^(p-1)=a^0(フェルマーの小定理)なので) よ…

一般フィボナッチ数列af(n)+bf(n+1)=f(n+2)を、「フィボナッチ数列のなかから現れるリュカ数列」という投稿のときのように、kつごとに行を変えていく表にし、縦に見たときの規則性を探りたいと思います。 一つごとに行を変えて表にした場合は当然 af(n)+bf(n…

まず、フィボナッチ数列を三つごとに行を変えて並べてみます。 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 この表をたてに見ます 任意の列の一行目をf(1)、二行目をf(2)、n行目をf(n)とすると、 f(n)+4f(n+1)=f(n+2) という式を満たしていることに気付きま…

パスカルの三角形の、一つの行にあるすべての数をそれぞれ2乗して和をとると、ある行の真ん中にある数になることに気付きました。 ↓はパスカルの三角形です １ １１ １２１ １３３１ １４６４１ １５1010５１ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 5…