n番目のカタラン数 f[n] は、f[n]＝2nＣn－2nＣ(n-1) と書けます。 カタラン数の数列の母関数をF(x)とします。 つまり、 F(x)＝f[0]＋f[1]x＋f[2]x^2＋f[3]x^3＋…… ということです。 カタラン数の性質より、F(x)は F(x)＝1＋xF(x)^2 を満たします。 そのこと…

xについての関数L(x,a)を L(x,a)=1＋x×L(x,a)^a と定義します。 L(x,2) はカタラン数の母関数なので、L(x,a) はカタラン数の母関数を一般化したものと思えます。 xについての関数『s,t』を 『s,t』＝sＣ0＋(s+t)Ｃ1×x＋(s+2t)Ｃ2×x^2＋……＋(s+nt)Ｃn×x^n＋………

前回の記事の続きです。 mizumiya-umi.hatenablog.com この記事では、パスカルの三角形の1行目の母関数をn次多項式に一般化したものを考えます。 n次多項式F(x)の、m次の係数を{m}と置きます。 F(x)＝{0}＋{1}x＋{2}x^2＋……＋{n}x^n k行目の母関数がF(x)^kに…

パスカルの三角形を左詰めにした 0行目 1 1行目 1,1 2行目 1,2,1 3行目 1,3,3,1 4行目 1,4,6,4,1 5行目 1,5,10,10,5,1 …… を考えます。 1行目の母関数1+xをF(x)とすると、 k行目の母関数はF(x)^kになります。 例えば、k=3とすると、 F(x)^3＝(1+x)^3＝1＋3x…

前回と同様 -1 1 -1 0 1 -1-1 1 1 -1 -2 0 2 1 -1 -3 -2 2 3 1 -1 -4 -5 0 5 4 1 -1 -5 -9 -5 5 9 5 1 -1 -6 -14 -14 0 14 14 6 1 という図とカタラン数の関係について考えます 各行の一番中央に近い右側の数はカタラン数になっているようです。 中央より右…

一番上に-1と1を配置し、パスカルの三角形のように計算して数を配置してみます （隣り合う２つの数の和を下に配置する、という計算です） -1 1 -1 0 1 -1-1 1 1 -1 -2 0 2 1 -1 -3 -2 2 3 1 -1 -4 -5 0 5 4 1 -1 -5 -9 -5 5 9 5 1 中央より左は負の数、中央…

パスカルの三角形にある計算をすると、カタラン数が表れるらしいことに気付きました。 カタラン数は、小さい順に並べると 1,1,2,5,14,42,132,…… という数たちです。詳しくは検索してみて下さい １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ …

カタラン数とは、数列として並べると 1,1,2,5,14,42,132,429,…… となるようなものです。詳細はwikiなどを見てください。 この数列で九九を作ると、 1 1 2 5 14 42 132 1 1 2 5 14 42 132 2 2 4 10 28 84 264 5 5 10 25 70 210 660 14 14 28 70 196 588 1848 …