明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形の比についての証明

以前の記事「パスカルの三角形の隠れた規則」の証明をします mizumiya-umi.hatenablog.com パスカルの三角形は 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 12…

mod pのパスカルの三角形で全ての整数が一度ずつ現れる行があるものの証明

以前の記事、『mod pのパスカルの三角形で、全ての整数が一度ずつ現れる行のあるもの』で書いた内容を証明します mizumiya-umi.hatenablog.com pを奇素数、aをpと互いに素な整数とします 1行目にa,-aという2つの数を隣り合わせて配置したパスカルの三角形…

等比数列やe^xのべき乗と比例

f(x)=a[0]+a[1]x+a[2]x^2+a[3]x^3+a[4]x^4+… という関数f(x)があったとき {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],…} という関数の係数を並べた数列を、関数と同一視します 関数g(x)を g(x)=b[0]+b[1]x+b[2]x^2+b[3]x^3+b[4]x^4+… とするとき f(x)×g(x)=a[0]b[0]+(a[0]b[…

三角数系やパスカルの三角形の比例

三角数系は僕の造語なので説明すると 三角数を一般次元まで拡張したものの総称です。 三角数は、小さい順に並べると 1,3,6,10,15,21,28,…… というもので、隣り合う項の差をとると 1,2,3,4,5,6,7,…… と自然数の列になります。 通常の三角数を2次三角数と呼ぶ…

1行目を自由にしたパスカルの三角形の性質

パスカルの三角形の1行目にどのような数をいくつ配置しても、 「隣り合う数の和を下に置く」ことさえ守れば成立する性質を見つけました。 それは 「n行目のそれぞれの数に、n+1行目にある右斜め下の数を掛けて、和をとったもの」と 「n行目のそれぞれの数に…

n次元の四角形と、パスカルの三角形

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com と同じものを、n次元の四角形で考えてみました。 結論としては、 n次元の四角形を構成する0次元以上n次元以下の四角形の個数を並べたものは、 「n行目が21の(n-1)乗になっている」ようなパスカルの三角形と一致す…

n次元の三角形と、パスカルの三角形

n次元の三角形を構成する-1次元以上n次元以下の三角形の個数を並べたものが、パスカルの三角形と同じになるらしいことに気付きました。 構成という言葉は、 三角形は、頂点3つと、線分3つと、面1つで構成されている。 というような意味合いで使っています。 …

打ち消しあうパスカルの三角形とカタラン数 その2

前回と同様 -1 1 -1 0 1 -1-1 1 1 -1 -2 0 2 1 -1 -3 -2 2 3 1 -1 -4 -5 0 5 4 1 -1 -5 -9 -5 5 9 5 1 -1 -6 -14 -14 0 14 14 6 1 という図とカタラン数の関係について考えます 各行の一番中央に近い右側の数はカタラン数になっているようです。 中央より右…

打ち消しあうパスカルの三角形とカタラン数

一番上に-1と1を配置し、パスカルの三角形のように計算して数を配置してみます (隣り合う2つの数の和を下に配置する、という計算です) -1 1 -1 0 1 -1-1 1 1 -1 -2 0 2 1 -1 -3 -2 2 3 1 -1 -4 -5 0 5 4 1 -1 -5 -9 -5 5 9 5 1 中央より左は負の数、中央…

パスカルの三角形と分数

パスカルの三角形の、n行m列目を分子、n+a行m列目を分母にしてできた分数を足し合わせたものは、nだけを大きくしていくと一定量ずつ大きくなっていくようです。 (n行は上からみてn番目の場所、m列は左からみてm番目の場所という意味です。また、数のない場…

パスカルの三角形の中央の数

パスカルの三角形の各行にある計算をすると、その行より下の行の中央の数が表れるらしいことに気付きました。 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126…

パスカルの三角形の中のカタラン数

パスカルの三角形にある計算をすると、カタラン数が表れるらしいことに気付きました。 カタラン数は、小さい順に並べると 1,1,2,5,14,42,132,…… という数たちです。詳しくは検索してみて下さい 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 …

n次式と数列上の積

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com の続きです。 前回同様、#という記号を #={1,1,1,1,……} という数列だと定義することにします。 関数f(x)に対して、数列[f(x)]を [f(x)]={f(0),f(1),f(2),f(3),……} と定義します。 f(x)がn次式のとき、[f(x)]をどの…

mod pのパスカルの三角形で、全ての整数が一度ずつ現れる行のあるもの

pを奇素数とし、 nを2n+1=pとなるような自然数とする mod pにおいて、nと(n+1)をふたつ隣りに並べたものを頂点とするようなパスカルの三角形を計算すると、全ての整数が一度ずつ現れる行が出てくるようだと思いました。証明はできていません。 例を挙げます …

パスカルの三角形の行列とフィボナッチ

二次正方行列を (a b)(c d) というように書くことにします。三次以上の行列も同様に書くことにします。 (0 1)(1 1) や、 (0 0 1)(0 1 1)(1 2 1) や、 (0 0 0 1)(0 0 1 1)(0 1 2 1)(1 3 3 1)というような、パスカルの三角形のような数の並びをもつ正方行列と…

パスカルの三角形の差

パスカルの三角形は 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものでした。 今回予想したことは、パスカルの三角形の任意の段の隣…

フィボナッチ数列・リュカ数列とパスカルの三角形の積

パスカルの三角形の上からn段目と、フィボナッチ数列のn番目までの各項の積をとり、すべて足すと隣り合うフィボナッチ数列の平方の和が現れると予想しました。 フィボナッチ数列は 1,1,2,3,5,8,13,…… というもので、 パスカルの三角形は 1 11 121 13…

パスカルの三角形を縦に読んでできる九九

1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 パスカルの三角形の中央の数だけを取り出して段にした九九を、斜めに足すと4のべき乗が現れます。…

パスカルの三角形で九九

1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 任意のふたつの行で九九のような演算をすると、パスカルの三角形の他の行が現れることに気付きまし…

パスカルの三角形にリュカ数列を掛けて足し引き

「パスカルの三角形にフィボナッチ数列を掛けて足し引き」という記事でのフィボナッチ数列を、リュカ数列にして考えてみました。 mizumiya-umi.hatenablog.com 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 2…

フィボナッチ数列を組み込んだパスカルの三角形

パスカルの三角形の右端の数をフィボナッチ数列にしたものをとり、各行ごとに足し引きするとフィボナッチ数列が現れることに気付きました。 実際に見ていきましょう。 1 1 1 1 2 2 1 3 4 3 1 4 7 7 5 1 5 11 14 12 8 1 6 16 25 26 20 13 …

パスカルの三角形にフィボナッチ数列を掛けて足し引き

パスカルの三角形とは 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです それぞれの行において、左からn番目の数に、n番目のフィ…

パスカルの三角形と長方形

まずパスカルの三角形を、表のような形に変えます。なぜならそのほうが今回説明したいことが分かりやすいからです 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 61 3 6 10 15 211 4 10 20 35 561 5 15 35 70 126 一番左上がパスカルの三角形の頂点、 二行目の先頭と一行目の左から…

k角数系のパスカルの三角形の足し引き

「三角数とパスカルの三角形」のk角数への拡張です。 タイトルの、「k角数系パスカルの三角形」とは、「k角数系で構成されるパスカルの三角形」で書いたようなパスカルの三角形のことです。この記事を読む前に、先に「k角数系で構成されるパスカルの三角形」…

三角数とパスカルの三角形

「パスカルの三角形的なものの足し引き その2」の拡張です。 パスカルの三角形とは 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなも…

パスカルの三角形的なものの足し引き その3

今回は上の三つの数を足して下の数を作るパスカルの三角形を考えます。 1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1 このようなパスカルの三角形です。 その2のときと同じく、左からn番目の数をn倍し、それぞれ…

パスカルの三角形的なものの足し引き その2

パスカルの三角形とは 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです それぞれの行で左からn番目の数に、nを掛けると 1 1 2 …

パスカルの三角形的なものの足し引き

パスカルの三角形とは 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです 左からn番目の数をnで割ったものを考えます 7行目の1,6,…

パスカルの三角形の中央の数で九九の表を作る

パスカルの三角形の中央の数とは、 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 上の図の太字の部分のことです。 これらの数だけをとりだして、…

パスカルの三角形のなかの数をグループ分け

「九九の表の数をグループ分け」のパスカルの三角形バージョンです mizumiya-umi.hatenablog.com ではグループ分けを見ていきます 1段のみの場合は、1が含まれるグループと何も含まれないグループができるので、差は1 2段までのとき 1 11 太字の数の和と…