タイトルの通りです。 自然数a,b,cを、ピタゴラス数、つまりa^2+b^2=c^2とするとき、 (a+c)^2+(b+c)^2=(a+b+c)^2+(a-b)^2 (a-c)^2+(b-c)^2=(a+b-c)^2+(a-b)^2 (a-c)^2+(b+c)^2=(a-b-c)^2+(a+b)^2 (a+c)^2+(b-c)^2=(a-b+c)^2+(a+b)^2 が成り立ちます。 証明は…

ピタゴラス数から、x^2+y^2+2n^2=z^2を満たす自然数x,y,z,nが現れることに気付きました。 2つのピタゴラス数の3つ組(a,b,c),(d,e,f)(ただしa,dは奇数、b,eは偶数)において、 (a+e,b+d,c+f)を計算すると、x,y,zが現れます。 例として(3,4,5)(7,24,25)をあげま…

2組のピタゴラス数に演算を入れることで、3次ピタゴラス数や1つの数の2通りの2つの平方数の和の表し方が現れることに気付いたので投稿します。 まず例として、(3,4,5),(5,12,13)という2つのピタゴラス数で考えます。 2つのピタゴラス数の和をとると、 (3+5,4…

前回の続きです。 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (75,100,125) (85,132,157) (63,16,65)(77,36,85)(91,6…

ピタゴラス数の表とは今までの記事で頻繁に書いてきたもののことです。 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (…

「ピタゴラス数と倍数 その２」の続きです。 x^2+y^2+z^2=w^2を満たす互いに素な自然数x,y,z,wを三次ピタゴラス数の四つ組と呼ぶことにします。 ピタゴラス数の三つ組(a,b,c)にピタゴラス操作をして現れる三つ組(h,i,j)は、三次ピタゴラス数の四つ組の初めの…

「ピタゴラス数と倍数 その２」の続きです。 (a,b,c)というピタゴラス数の三つ組に対して、t=2(a+b-c)とすると、 (t-a,t-b,t-c)のそれぞれの絶対値をとったものはピタゴラス数の三つ組になるのでした。 この操作は二回ピタゴラス操作を行うことともとれるの…

「ピタゴラス数と倍数」の続きです。 前回はピタゴラス数の三つ組a,b,cに対してah+bi=cjを満たす自然数h,i,jについて考えていました。 h+i+j=cとなっているようなh,i,jがどのようなピタゴラス数の三つ組a,b,cに対しても必ず存在することを証明できたので投稿…

１ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 パスカルの三角形の中央の数だけを取り出して段にした九九を、斜めに足すと４のべき乗が現れます。…

ピタゴラス数の三つ組a,b,cに対してah+bi=cjを満たす自然数h,i,jを考えていきます。 例えばa=3,b=4,c=5のとき、3×2+4×1=5×2なので、h=2,i=1,j=2はh,i,jのひとつの解です。 「ピタゴラス数の平方と和・差」で書いた c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,4…

１ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 任意のふたつの行で九九のような演算をすると、パスカルの三角形の他の行が現れることに気付きまし…

「ピタゴラス数の平方と積」で書いた表に書き加えたもので考えます。 c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) c-b=3^2 (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) c-b=5^2 (35,12,37) (45,28,53) (…

「ピタゴラス数の平方と比」で書いた表を流用します。 c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) c-b=3^2 (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) c-b=5^2 (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) c-b=7^…

「ピタゴラス数の平方から現れる九九の表」で書いた表を元に考えます。 c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) c-b=3^2 (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) c-b=5^2 (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (…

a^2＋b^2＝c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 (c－b)の値でピタゴラス数の組を行で分けてみようと思います。 c－b＝1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) …

基本的に「ピタゴラス数と平方 その２」と似た内容です。 a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 今回は(c-a)/2でピタゴラス数たちをカテゴリー分けしてみようと思います。すべての…

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 前回書いたように、b+cは平方数になります。 b+cの値でピタゴラス数たちをカテゴリー分けしてみようと思います。とりあえずb+c=13^2まで。 a…

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 本題に入ります。 c+b,c-b,(c+a)/2,(c-a)/2はすべて必ず平方数になります。 証明は簡単で、 m,nを自然数とするとき、 a=m^2-n^2 b=2mn c=m^2…

「パスカルの三角形にフィボナッチ数列を掛けて足し引き」という記事でのフィボナッチ数列を、リュカ数列にして考えてみました。 mizumiya-umi.hatenablog.com １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 2…

パスカルの三角形の右端の数をフィボナッチ数列にしたものをとり、各行ごとに足し引きするとフィボナッチ数列が現れることに気付きました。 実際に見ていきましょう。 １ １ １ １ ２ ２ １ ３ ４ ３ １ ４ ７ ７ ５ １ ５ 11 14 12 ８ 1 ６ 16 25 26 20 13 …

パスカルの三角形とは １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです それぞれの行において、左からn番目の数に、n番目のフィ…

まずパスカルの三角形を、表のような形に変えます。なぜならそのほうが今回説明したいことが分かりやすいからです 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 61 3 6 10 15 211 4 10 20 35 561 5 15 35 70 126 一番左上がパスカルの三角形の頂点、 二行目の先頭と一行目の左から…

タイトルの「三角数と平方数をつなぐ計算」とは、＋と－を交互につけて足し合わせる計算のことです。差分と呼ぶのかな？とりあえず呼びやすいのでこれから差分と呼ぶことにします。使い方間違ってたらすみません。 ではさっそく三角数の差分をとっていきまし…

「三角数とパスカルの三角形」のk角数への拡張です。 タイトルの、「k角数系パスカルの三角形」とは、「k角数系で構成されるパスカルの三角形」で書いたようなパスカルの三角形のことです。この記事を読む前に、先に「k角数系で構成されるパスカルの三角形」…

「パスカルの三角形的なものの足し引き その２」の拡張です。 パスカルの三角形とは １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなも…

今回は上の三つの数を足して下の数を作るパスカルの三角形を考えます。 １ 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1 このようなパスカルの三角形です。 その２のときと同じく、左からn番目の数をn倍し、それぞれ…

パスカルの三角形とは １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです それぞれの行で左からn番目の数に、nを掛けると 1 １ 2 …

パスカルの三角形とは １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです 左からn番目の数をnで割ったものを考えます 7行目の1,6,…

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cをピタゴラス数と言います。 これからa,b,cを３つ組のピタゴラス数と呼ぶことにします。 たとえば3^2+4^2=5^2なので、3,4,5は３つ組のピタゴラス数です。 自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすとし、a

ふたつの自然数を解に持つ二次方程式を特性方程式として見て、現れる数列を見ると面白いことになっているようなので投稿します。とは言っても、おそらく有名だとは思います。僕のように知らなかった人に面白がってもらえればなと。 1,2を解に持つ二次方程式…