明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

等比数列やe^xのべき乗と比例

f(x)=a[0]+a[1]x+a[2]x^2+a[3]x^3+a[4]x^4+…

という関数f(x)があったとき

{a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],…}

という関数の係数を並べた数列を、関数と同一視します

関数g(x)を

g(x)=b[0]+b[1]x+b[2]x^2+b[3]x^3+b[4]x^4+…

とするとき

f(x)×g(x)=a[0]b[0]+(a[0]b[1]+a[1]b[0])x+(a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0])x^2+…

なので、数列と数列のかけ算を

{a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],…}×{b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],…}

={a[0]b[0] ,a[0]b[1]+a[1]b[0] ,a[0]b[2]+a[1]b[1]+a[2]b[0] ,a[0]b[3]+a[1]b[2]+a[2]b[1]+a[3]b[0] ,a[0]b[4]+a[1]b[3]+a[2]b[2]+a[3]b[1]+a[4]b[0] ,…}

と定義します

 

この数列のかけ算の定義を使うと

mizumiya-umi.hatenablog.com

で書いたk次三角数の数列は

{1,1,1,1,1,1,1…}という数列の(k+1)乗だと考えられます

 

初項1,公比rの数列Rのべき乗は

R^1={1,r,r^2,r^3,r^4,…}

R^2={1,2r,3r^2,4r^3,5r^4,…}

R^3={1,3r,6r^2,10r^3,15r^4,…}

なので

R^(k+1)はk次三角数の数列のn項目にr^(n-1)をかけたものと、同じになるようです

 

このことから分かるように

数列R^(k+1)で、かけると次の項になるような数を並べると

k次三角数と同じように比例があるようです。

実際に並べると

R^1は  ×r ,×r ,×r ,×r ,×r ,×r ,……

R^2は  ×2r,×3r/2,×4r/3,×5r/4,×6r/5,×7r/6,……

R^3は  ×3r,×2r,×5r/3,×3r/2,×7r/5,×4r/3,……

R^4は  ×4r,×5r/2,×2r,×7r/4,×8r/5,×3r/2,……

R^5は  ×5r,×3r,×7r/3,×2r,×9r/5,×5r/3,……

となり縦の列で見ると

1列目はrずつ、2列目はr/2ずつ、3列目はr/3ずつ、

n列目はr/nずつ値が増えていってます。

 

一般にR^(k+1)において、かけると次の項になるような数を並べると

×r(k+1),×r(k+2)/2,×r(k+3)/3,×r(k+4)/4,×r(k+5)/5,×r(k+6)/6,……

となると思っています

これを計算すると

R^(k+1)={1,r(k+1),r^2(k+1)(k+2)/2!,r^3(k+1)(k+2)(k+3)/3!,…}

となりR^(k+1)の第m項は

r^(m-1)×(k+m-1)C(m-1)になりそうです

((k+m-1)C(m-1)は、(k+m-1)個のものから(m-1)個選ぶ組み合わせの総数)

 

今まで整数乗を考えていましたが

kに有理数や実数を入れ、有理数乗や実数乗を考えても同じ比例があるだろうと予想しています

 

 また、e^x(eは自然対数の底のこと)をマクローリン展開した

1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+…

を数列にすると

{1,1/1!,1/2!,1/3!,1/4!,…}

となります。

これをべき乗したものにも、k次三角数やRの数列と同じように比例があるようです。

 

実際にe^xのべき乗を見ていくと

e^x={1,1,1/2,1/6,1/24,…}

e^2x={1,2,2,4/3,2/3,…}

e^3x={1,3,9/2,9/2,27/8,…}

e^4x={1,4,8,32/3,32/3,…}

となり、かけると次の項になるような数を並べると

e^xは  ×1,×1/2,×1/3,×1/4,…

e^2xは ×2,×1,×2/3,×1/2,…

e^3xは ×3,×3/2,×1,×3/4,…

e^4xは ×4,×2,×4/3,×1,…

と、縦列で見たときm列目は1/mずつ増えていっています

 

この比例を保ってe^0xを考えたとき、

かけると次の項になるような数は全て0になります。

e^0xで、かけると次の項になるような数が全て0になることから、

e^(-jx)でかけると次の項になるような数が、

e^jxのものを(-1)倍したものになることが分かります

 

Rとe^xの、べき乗したときの比例の類似を面白いな~!!と思います。

数列Rのn項目をR(n)と書くことにすると、

R(n)=r^(n-1)

と書け、e^xと形が似ていることと関係あるのかな、と思いました。

 

以上です。お読みいただきありがとうございました!

三角数系やパスカルの三角形の比例

三角数系は僕の造語なので説明すると

三角数を一般次元まで拡張したものの総称です。

三角数は、小さい順に並べると

1,3,6,10,15,21,28,……

というもので、隣り合う項の差をとると

1,2,3,4,5,6,7,……

自然数の列になります。

 

通常の三角数を2次三角数と呼ぶことにします。

k次三角数の、1項目から各項までの和をそれぞれとったものを

k+1次三角数と定義します。

3次三角数は  1,4,10,20,35,56,84,……

4次三角数は  1,5,15,35,70,126,210,……

となります。次数を下げたものを見ると

1次三角数は  1,2,3,4,5,6,7,……

0次三角数は  1,1,1,1,1,1,1,……

-1次三角数は  1,0,0,0,0,0,0,……

-2次三角数は  1,-1,0,0,0,0,0,……

-3次三角数は  1,-2,1,0,0,0,0,……

-4次三角数は  1,-3,3,-1,0,0,0,……

となります

-n次三角数は、

パスカルの三角形のn行目に一つおきに負の符号をつけたものと、同じになるようです。

 

それぞれのk次三角数で、掛けると次の項になるような数を並べていくと、どうやら比例になっていることに気付きました。

掛けると次の項になるような数を並べていくと

0次三角数は  ×1,×1,×1,×1,×1,×1,……

1次三角数は  ×2,×3/2,×4/3,×5/4,×6/5,×7/6,……

2次三角数は  ×3,×2,×5/3,×3/2,×7/5,×4/3,……

3次三角数は  ×4,×5/2,×2,×7/4,×8/5,×3/2,……

4次三角数は  ×5,×3,×7/3,×2,×9/5,×5/3,……

となり、縦の列で見ると比例になっています。

1列目は1ずつ、2列目は1/2ずつ、3列目は1/3ずつ、

n列目は1/nずつ値が増えていっています。

 

この比例を負の次数まで考えて、負の次数の三角数に当てはめてみても矛盾なかったです。

 

負の次数の三角数パスカルの三角形と似ているので、

パスカルの三角形の各行で、掛けると次の項になるような数を並べても比例になっているようです。

楽しいね!

 

以上です! お読みいただきありがとうございました!

 

等比と小数点

無限等比級数の公式より

-1<r<1とするとき

1+r+r^2+r^3+r^4+……=1/(1-r)です。

例としてr=1/2を考えると

1+1/2+1/4+1/8+1/16+……=1/(1-1/2)=1/(1/2)=2

となり、これは2進数で

1.11111111……=10

と書けます。

 

さて、r=0.1×s(-10<s<10)とすると

1+(0.1×s)+(0.1×s)^2+(0.1×s)^3+(0.1×s)^4+……=1/(1-(0.1×s))=10/(10-s)

となり、両辺から1を引くと

(0.1×s)+(0.1×s)^2+(0.1×s)^3+(0.1×s)^4+……=s/(10-s)

と書け、sで割ると

0.1+0.01×s+0.001×s^2+0.0001×s^3+……=1/(10-s)

となります。

 

Aという実数の

10進数表記した際の整数部分をa[0]、小数点第n位をa[n]とし

{a[0],a[1],a[2],a[3],……}とAを表記することにします。

初めに書いた

0.1+0.01×s+0.001×s^2+0.0001×s^3+……=1/(10-s)

はこの表記を使って

{0,1,s,s^2,s^3,……}=1/(10-s)

と書けます。

 

sに2を代入すると

{0,1,2,4,8,……}=1/8=0.125

となり

整数部分が0、小数点第n位が2^(n-1)の数は

1/8(=0.125)になることが分かります。

同様に、整数部分が0、小数点第n位が3^(n-1)の数は

1/7になると分かります。

1/7は0.14285714285714……と小数点以下で142857を循環するので

3の累乗を繰り上げていくと、142857の循環が生まれることが分かりました。

最後に、sに-1を代入してみると

{0,1,-1,1,-1,……}=1/11

となり、1/11=0.09090909……なので確かに負の数でもこの等式は成立しています。

 

無限等比級数の公式はとても有名ですが

小数点で考えると楽しいなと思いました。

以上です。お読みいただきありがとうございました!

1が並んだ数同士のかけ算 その2

前回の記事

mizumiya-umi.hatenablog.com

ではレピュニット数(1のゾロ目になっている数)同士の2つのかけ算を考えました。

今回は主に3つ以上のレピュニット数のかけ算を考えます。

 

この記事では桁の中が10以上になって繰り上がるのを避けるため

125を{1,2,5}

と表記し、桁の間にコンマを入れることにします。

このように表記した数同士のかけ算は

以前の記事『数列の環』で定義した数列の積(かけ算)と同一視できます

mizumiya-umi.hatenablog.com

 

では、まず3つのレピュニット数のかけ算をします。

{1,1}×{1,1}、つまり{1,2,1}をレピュニット数にかけていくと

{1,1}×{1,2,1}={1,3,3,1}

{1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,3,1}

{1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,3,1}

{1,1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,4,3,1}

{1,1,1,1,1,1}×{1,2,1}={1,3,4,4,4,4,3,1} 

となり、{1,1,1}以上のレピュニット数にかけると

「両端が1、端から2番目が3、それより内側が4」になるようです。

 

簡潔にするため、aがb個並んでいたなら[a○b]と書くことにします。

例えば{a,a,a,a}={[a○4]}とします。

{a,b,b,b,c,d}={a,[b○3],c,d}というように

部分でも並んでいればこの記号で短縮します。

 

さて、nを自然数とするとき

{[1○(n+2)]}×{1,2,1}={1,3,[4○n],3,1}

と表記できます。

さらに、121=11×11=11^2(^はべき乗という意味)なので、

{1,2,1}は{1,1}^2と書け、さらに{[1○2]}^2とも書けるので

{[1○(n+2)]}×{[1○2]}^2={1,3,[4○n],3,1}

と書けます。

mを自然数とするとき

レピュニット数に11^m(つまり{[1○2]}^m)をかけたものを順に確かめていくと

{[1○(n+3)]}×{[1○2]}^3={1,4,7,[8○n],7,4,1}

{[1○(n+4)]}×{[1○2]}^4={1,5,11,15,[16○n],15,11,5,1}

{[1○(n+5)]}×{[1○2]}^5={1,6,16,26,31,[32○n],31,26,16,6,1}

となるようです。

{[1○(n+m)]}に{[1○2]}^m をかけると、両端からm個内側には2^mがn個並ぶみたいですね!

 

{[1○2]}^mの次に{[1○3]}^mを考えてみると

 {[1○(n+2)]}×{[1○3]}^1={1,2,[3○n],2,1}

 {[1○(n+4)]}×{[1○3]}^2={1,3,6,8,[9○n],8,6,3,1}

 {[1○(n+6)]}×{[1○3]}^3={1,4,10,17,23,26,[27○n],26,23,17,10,4,1}

 {[1○(n+8)]}×{[1○3]}^4={1,5,15,31,50,66,76,80,[81○n],80,76,66,50,31,15,5,1}

となり

{[1○(n+2m)]}に{[1○3]}^m をかけると、両端から2m個内側に3^mがn個並ぶようです。

 

kを自然数として一般に{[1○k]}^mを考えた場合

{[1○(n+(k-1)m)]}に{[1○k]}^m をかけると、

両端から(k-1)m個内側にk^mがn個並ぶんじゃないかと思います。

 

なんだか、ゾロ目を見る目が変わってきますね!

以上です! お読みいただきありがとうございました!

1が並んだ数同士のかけ算

11や111や1111など、どの桁も1の自然数をレピュニット数と呼ぶそうです

レピュニット数同士のかけ算で思いついたことを書きます

 

レピュニット数たちに11をかけてみると、

11×11=121

111×11=1221

1111×11=12221

11111×11=122221

111111×11=1222221

となり、

両端の桁が1、内側の桁が2になっています

 

次にレピュニット数たちに111をかけると、

11×111=1221

111×111=12321

1111×111=123321

11111×111=1233321

111111×111=12333321

となり、

111以上のレピュニット数にかけたときは、

両端が1、端から2番目が2、それより内側が3になっています

 

レピュニット数たちに1111をかけると

11×1111=12221

111×1111=123321

1111×1111=1234321

11111×1111=12344321

111111×1111=123444321

となり、

1111以上のレピュニット数にかけたときは、

両端が1、端から2番目が2、端から3番目が3、それより内側が4になっています

 

これらの例から考えられるように、

 1がn個並んだレピュニット数を[n]レピュニット数と呼ぶことにし、m≧nとするとき、

[m]レピュニット数に[n]レピュニット数をかけると、

両端から(n-1)番目までは(n-1)で、それより内側はnになっているようです

(桁の数が10以上になって繰り上がることは、いったん置いています)

 

 単純ですが、楽しいなと思います

お読みいただきありがとうございました!