m番目のn角数をA(n,m)と書くことにします。
つまり、
A(2,m)=m
A(3,m)=m(m+1)/2
A(4,m)=m^2
です。
ピタゴラス数を多角数の場合で見てみたときに面白いことが言えることに気付きました。
3^2+4^2=5^2を拡張して、
A(n,3)+A(n,4)+n-4=A(n,5)
という等式が成り立っているようなのです。
nが小さい場合を具体的に書くと、
A(2,3)+A(2,4)+2-4=3+4-2=5=A(2,5)
A(3,3)+A(3,4)+3-4=6+10-1=15=A(3,5)
A(4,3)+A(4,4)+4-4=3^2+4^2=25=5^2=A(5,4)
という感じです。
一般に、自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たしているとき、
A(n,a)+A(n,b)+(n-4)(c-a-b)/2=A(n,c)
が成立しているようです。
しかし、別にピタゴラス数に限らず似たようなことが言えるみたいなので、多角数の性質でほとんど自明な事実なのかもしれないです。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
