まず１組のみのピタゴラス数で考えます。 a,b,cをピタゴラス数とすると、a^2+b^2=c^2から、 c^2+2ab=(a+b)^2 c^2-2ab=(a-b)^2が導けます。 同様にして、２組目のピタゴラス数をd,e,fとするとき cf+ae+bd,cf-ae-bdが平方数になることが導けます。 cf+ae+bdの…

ピタゴラス数の表とは今までの記事で頻繁に書いてきた、 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (75,100,125) (8…

タイトルの通りです。 自然数a,b,cを、ピタゴラス数、つまりa^2+b^2=c^2とするとき、 (a+c)^2+(b+c)^2=(a+b+c)^2+(a-b)^2 (a-c)^2+(b-c)^2=(a+b-c)^2+(a-b)^2 (a-c)^2+(b+c)^2=(a-b-c)^2+(a+b)^2 (a+c)^2+(b-c)^2=(a-b+c)^2+(a+b)^2 が成り立ちます。 証明は…

ピタゴラス数から、x^2+y^2+2n^2=z^2を満たす自然数x,y,z,nが現れることに気付きました。 2つのピタゴラス数の3つ組(a,b,c),(d,e,f)(ただしa,dは奇数、b,eは偶数)において、 (a+e,b+d,c+f)を計算すると、x,y,zが現れます。 例として(3,4,5)(7,24,25)をあげま…

2組のピタゴラス数に演算を入れることで、3次ピタゴラス数や1つの数の2通りの2つの平方数の和の表し方が現れることに気付いたので投稿します。 まず例として、(3,4,5),(5,12,13)という2つのピタゴラス数で考えます。 2つのピタゴラス数の和をとると、 (3+5,4…

前回の続きです。 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (75,100,125) (85,132,157) (63,16,65)(77,36,85)(91,6…

ピタゴラス数の表とは今までの記事で頻繁に書いてきたもののことです。 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117) (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (…

「ピタゴラス数と倍数 その２」の続きです。 x^2+y^2+z^2=w^2を満たす互いに素な自然数x,y,z,wを三次ピタゴラス数の四つ組と呼ぶことにします。 ピタゴラス数の三つ組(a,b,c)にピタゴラス操作をして現れる三つ組(h,i,j)は、三次ピタゴラス数の四つ組の初めの…

「ピタゴラス数と倍数 その２」の続きです。 (a,b,c)というピタゴラス数の三つ組に対して、t=2(a+b-c)とすると、 (t-a,t-b,t-c)のそれぞれの絶対値をとったものはピタゴラス数の三つ組になるのでした。 この操作は二回ピタゴラス操作を行うことともとれるの…

「ピタゴラス数と倍数」の続きです。 前回はピタゴラス数の三つ組a,b,cに対してah+bi=cjを満たす自然数h,i,jについて考えていました。 h+i+j=cとなっているようなh,i,jがどのようなピタゴラス数の三つ組a,b,cに対しても必ず存在することを証明できたので投稿…

１ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 パスカルの三角形の中央の数だけを取り出して段にした九九を、斜めに足すと４のべき乗が現れます。…

ピタゴラス数の三つ組a,b,cに対してah+bi=cjを満たす自然数h,i,jを考えていきます。 例えばa=3,b=4,c=5のとき、3×2+4×1=5×2なので、h=2,i=1,j=2はh,i,jのひとつの解です。 「ピタゴラス数の平方と和・差」で書いた c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,4…