まず具体例を挙げます
0,1,4,9,16,25,36,……
つまり、f(n)=n^2という数列を考え、この数列の階差をとると
1,3,5,7,9,11,13,……
となります
この数列の階差を更にとると、
2,2,2,2,2,2,2,……
となります。
これらを表の形に並べると
0,1,4,9,16,25,36……
1,3,5,7, 9,11,13……
2,2,2,2, 2, 2, 2……
となります。
この表を、左下から右上へ斜め45度の角度で足し合わせると、
2+3+4=9
2+5+9=16
2+7+16=25
2+9+25=36
2+11+36=49
と、平方数、つまり一番最初の数列が現れました。
一般のn次関数の数列でも同様に、全ての項が0になるまで階差数列をとっていき、斜めに足すと、一番最初の数列が現れます。
指数関数でも同様のことが言えるようです。
f(n)=2^nという数列を例にします。
階差の表を作ると
1,2,4,8,16,32……
1,2,4,8,16,32……
1,2,4,8,16,32……
と、延々と同じ数列が現れます。
なので、例えばf(0)=1から階差の和をとっていくと、
1+1/2+1/4+1/8+……=2
となり、一番最初の数列に現れる数が現れました。
n次関数の場合の証明は言葉ではできているのですが、数式でうまく書けないので、ここにうまく書けないです。すみません。各々考えてみてください。
どんな関数だと今回言ったようなことが成立してるのかが分かる方いたら、是非教えて下さい。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
