明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

ある形の一般フィボナッチ数列の和で自然数を一意的に表す

aを自然数とする。 f(0)=1,f(1)=1,f(x)+a×f(x+1)=f(x+2) とf(x)を定義し、 g[x]を0,1,2,……,aのうちのいずれかの数になっているとする。 すべての自然数は、 g[1]×f(1)+g[2]×f(2)+…+g[n]×f(n) (nは自然数) の形で表せるだろうと予想しました。 さらに、g[k]=a…

新しい和と積でできる行列の体

通常でない和と積を定義して行列の体を作ることができるようなので投稿します。 まず、この記事で定義する和を巻和、積を巻積と呼ぶことにします。ネーミングに特に深い意味はないです。区別をしたほうが分かりやすいと思ったので名付けました。 これから二…

mod pにおける行列の体と無理数による体をフィボナッチでつなげる

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (x y)(z w) というように書くことにします。 pを素数とします。 mod pにおいて、 aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]の、一番長いループの長さと…

パスカルの三角形の行列とフィボナッチ

二次正方行列を (a b)(c d) というように書くことにします。三次以上の行列も同様に書くことにします。 (0 1)(1 1) や、 (0 0 1)(0 1 1)(1 2 1) や、 (0 0 0 1)(0 0 1 1)(0 1 2 1)(1 3 3 1)というような、パスカルの三角形のような数の並びをもつ正方行列と…

フィボナッチと分数

nを自然数とする。 数列F[n]を、 F[0]=0,F[1]=1,F[n-1]+F[n]=F[n+1] と定義する。つまりF[n]はフィボナッチ数列です。 互いに素な自然数a,bを、 F[n-1]/F[n]+F[n]/F[n+1]=a/b と定義するとき、 a+b=F[2n+1] a-b=(F[n-1])^2 となっていると予想しました。 例…

フィボナッチ積と分配法則

a,b,cを自然数とする。 aとbのフィボナッチ積をa〇bと書くことにする。 (a〇(b+c))と(a〇b+a〇c)の差は、0かaかのどちらかに必ずなるのではないかと思いました。 普通の加法とフィボナッチ積の間に、分配法則のようなものが成り立っているのではないかと思っ…

フィボナッチ積の性質

九九の表のように、フィボナッチ積の表を七の段まで書いて眺めていたら思いついたことがあるので書きます。 nを自然数とする n番目のフィボナッチ数をF[n](ただし1=F[2]とする)とする また、aとbのフィボナッチ積をa〇bと書くことにする。 kを自然数とすると…

トリボナッチ積

フィボナッチ積という概念のトリボナッチ数列版を考えてみました。 mizumiya-umi.hatenablog.com で書いたように、トリボナッチ数列から3つ以上連続しないように項を選び、和をとることで、すべての自然数を一意的に表せるだろうと予想しました。 この予想を…

フィボナッチ数列とmod pでのループの長さが一致する数列

pを素数とし、 m乗するとxになる数を(m)√(x)という表記で書くことにし、 kを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 g(0)=0 g(1)=1 (k)√(g(n)^k+g(n+1)^k)=g(n+2) で定義される数列g(n)と、 フィボナッチ数列のmod pでのループの長さが一致すると予想しまし…

mod pにおける一般フィボナッチ数列と2次方程式の解のループの長さと位数の一致

pを素数とし、a,bをmod pで0でない整数とする。 以下の等式はすべてmod pで考える。 nを整数とする。 af(n)+bf(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1)=1で定義される一般フィボナッチ数列f(n)の、nを0より大きくしていき、最初にf(n)=0,f(n+1)=1となるようなnをf(n)のルー…

負数番目のフィボナッチ数列

負数番目のフィボナッチ数列、つまり、 1,-1,2,-3,5,-8,13,-21,34,-55,…… という数列の、隣り合わない項の和で、すべての整数を一意的に表せるそうです。 Wikipediaの「ゼッケンドルフの定理」の項目に書いてある、「フィボナッチ積」という概念を負数番目の…

トリボナッチのピラミッド

「フィボナッチのピラミッド」のトリボナッチ数列版です。 mizumiya-umi.hatenablog.com 1,1,2,4,7,13,24,44,81,……という数列をトリボナッチ数列と言います。連続する3つの項の和が次の項になっているような数列です。 トリボナッチ数列から一番最初の項の1…

フィボナッチのピラミッド

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……と続いていく数列をフィボナッチ数列と呼びます。 1,1からはじまり、前のふたつの数を足したものが次の数になっています。 フィボナッチ数列から一番最初の項の1を除いたもの、 つまり 1,2,3,5,8,13,21,34,55…… という数列を考え…

フィボナッチと互いに素 その2

a,bを互いに素な自然数の定数、 F(n)が、F(n)+F(n+1)=F(n+2)(また、F(1),F(2)は自然数、F(1)≠F(2))を満たし、 J(n),K(n)を0以上F(n)以下 (ただしF(n)<aあるいはF(n)<bとなっているときは、F(n)以下という条件を変えて、a以下あるいはb以下という条件にする…

フィボナッチと互いに素

a(n),b(n),c(n),d(n)を0以上の整数とする F(1)とF(2)を互いに素な自然数、F(1)+F(2)=F(3)とする F(n)×a(n)-F(n+1)×b(n)=(-1)^n, F(n)×c(n)-F(n+1)×d(n)=(-1)^(n-1) とするとき a(n),b(n),c(n),d(n)はそれぞれフィボナッチ型数列になる、と予想しました (ただ…

フィボナッチ数列・リュカ数列とパスカルの三角形の積

パスカルの三角形の上からn段目と、フィボナッチ数列のn番目までの各項の積をとり、すべて足すと隣り合うフィボナッチ数列の平方の和が現れると予想しました。 フィボナッチ数列は 1,1,2,3,5,8,13,…… というもので、 パスカルの三角形は 1 11 121 13…

こんなところにフィボナッチ!

f(1)=1 f(1)×n+f(2)×(n-1)+……+f(n)×1=f(n+1) という数列f(n)がフィボナッチ数列とリュカ数列の積で表せると予想しました。 まず具体的に計算してみます。 f(1)=1 f(2)=f(1)×1=1 f(3)=f(1)×2+f(2)×1=2+1=3 f(4)=f(1)×3+f(2)×2+f(3)×1=3+2+3=8 f(5)=f(1)×4+f(2…

a^n×nと一致する一般フィボナッチ数列

a≠0とし、 f(n)=a^n×nとするとき、 f(n)=-a^2×f(n-2)+2a×f(n-1) となっています。 証明は、f(n-1)=a^(n-1)×(n-1),f(n-2)=a^(n-2)×(n-2)をf(n)=-a^2×f(n-2)+2a×f(n-1)に代入すればできます。 面白いなぁと思います。 お読みいただきありがとうございました!

パスカルの三角形にリュカ数列を掛けて足し引き

「パスカルの三角形にフィボナッチ数列を掛けて足し引き」という記事でのフィボナッチ数列を、リュカ数列にして考えてみました。 mizumiya-umi.hatenablog.com 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 2…

フィボナッチ数列を組み込んだパスカルの三角形

パスカルの三角形の右端の数をフィボナッチ数列にしたものをとり、各行ごとに足し引きするとフィボナッチ数列が現れることに気付きました。 実際に見ていきましょう。 1 1 1 1 2 2 1 3 4 3 1 4 7 7 5 1 5 11 14 12 8 1 6 16 25 26 20 13 …

パスカルの三角形にフィボナッチ数列を掛けて足し引き

パスカルの三角形とは 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです それぞれの行において、左からn番目の数に、n番目のフィ…

二次方程式を特性方程式として見る

ふたつの自然数を解に持つ二次方程式を特性方程式として見て、現れる数列を見ると面白いことになっているようなので投稿します。とは言っても、おそらく有名だとは思います。僕のように知らなかった人に面白がってもらえればなと。 1,2を解に持つ二次方程式…

純循環連分数と対称性のある一般フィボナッチ数列

木村俊一著『連分数のふしぎ(講談社)』を参考にさせていただきました。非常に面白い本なのでおすすめです。 まず純循環連分数の説明をします とは言っても、連分数をはてなブログでどうやって書いたらいいのか分からないので、連分数についてはググってもら…

一般フィボナッチ数列のなかから現れる一般リュカ数列

一般フィボナッチ数列af(n)+bf(n+1)=f(n+2)を、「フィボナッチ数列のなかから現れるリュカ数列」という投稿のときのように、kつごとに行を変えていく表にし、縦に見たときの規則性を探りたいと思います。 一つごとに行を変えて表にした場合は当然 af(n)+bf(n…

フィボナッチ数列のなかから現れるリュカ数列

まず、フィボナッチ数列を三つごとに行を変えて並べてみます。 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 この表をたてに見ます 任意の列の一行目をf(1)、二行目をf(2)、n行目をf(n)とすると、 f(n)+4f(n+1)=f(n+2) という式を満たしていることに気付きま…

パスカルの三角形と2乗

パスカルの三角形の、一つの行にあるすべての数をそれぞれ2乗して和をとると、ある行の真ん中にある数になることに気付きました。 ↓はパスカルの三角形です 1 11 121 1331 14641 15101051 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 5…

aのべき乗が現れるパスカルの三角形

(普通のパスカルの三角形からフィボナッチ数列を取り出すときのように)斜めに足していくことでaのべき乗が現れるようなパスカルの三角形を思いつきました。 まず、a=2、つまり2のべき乗の場合から見てみます。 左上の数の倍と右上の数の和が下の数になるよう…

k-フィボナッチ型数列を等間隔ごとに足すことで現れるk-フィボナッチ数列

まず2-フィボナッチ数列、つまり普通のフィボナッチ数列の場合を例にあげます。 f(1)=1,f(2)=0,f(n)+f(n+1)=f(n+2)とフィボナッチ型数列f(n)を定義すると、 f(n)+f(n-1)+f(n-2)……+f(2)+f(1)がn番目の(初期値が1,1の)フィボナッチ数列になることに気付きまし…

n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形

下の図のような、奇数を並べた三角形を考えます 1 3 1 5 3 1 7 5 3 1 9 7 5 3 1 11 9 7 5 3 1 「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」で書いたように左下から右上へ数を足すと、 この図から三角数を取り出すことができるらしいと気付きました 実…

一般フィボナッチ数列とべき乗

af(n)+(a-1)f(n+1)=f(n+2) f(0)=0,f(1)=1 (とりあえず、aは2以上の自然数とする) という一般フィボナッチ数列f(n)をおき g(n)=f(n)+f(n+1) とするとき、 g(n)=a^n になっていることに気付きました。 例をあげると、a=2のとき 2f(n)+f(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1…