パスカルの三角形の上からn段目と、フィボナッチ数列のn番目までの各項の積をとり、すべて足すと隣り合うフィボナッチ数列の平方の和が現れると予想しました。
1,1,2,3,5,8,13,……
というもので、
パスカルの三角形は
というものです
では実際に計算します。
1×1＝1＝0^2＋1^2
1×1＋1×1＝2＝1^2＋1^2
1×1＋1×2＋2×1＝5＝1^2＋2^2
1×1＋1×3＋2×3＋3×1＝13＝2^2＋3^2
1×1＋1×4＋2×6＋3×4＋5×1＝34＝3^2＋5^2
1×1＋1×5＋2×10＋3×10＋5×5＋8×1＝89＝5^2＋8^2
1×1＋1×6＋2×15＋3×20＋5×15＋8×6＋13×1＝233＝8^2＋13^2
と、確かに小さい場合では成立しています。
リュカ数列でも、適したパスカルの三角形を与えれば同様のことが言えます。
リュカ数列とは、
1,3,4,7,11,18,29,……
というものです
リュカ数列に適したパスカルの三角形とは、
１ ３
このようなものです
実際に計算すると、
1×1＝1
1×1＋3×3＝10＝1^2＋3^2
1×1＋3×4＋4×3＝25＝3^2＋4^2
1×1＋3×5＋4×7＋7×3＝65＝4^2＋7^2
1×1＋3×6＋4×12＋7×10＋11×3＝170＝7^2＋11^2
1×1＋3×7＋4×18＋7×22＋11×13＋18×3＝445＝11^2＋18^2
1×1＋3×8＋4×25＋7×40＋11×35＋18×16＋29×3＝1165＝18^2＋29^2
と、確かに小さい場合は隣り合う2つのリュカ数の平方の和で表せています。
基本的に、あるパスカルの三角形(これをXと呼ぶことにする)を斜めに足していくとf(n)というフィボナッチ型数列が現れるとき、f(n)に適したパスカルの三角形はXだ、と予想しています。
以上です お読みいただきありがとうございました！
