明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

等比数列やe^xのべき乗と比例

f(x)=a[0]+a[1]x+a[2]x^2+a[3]x^3+a[4]x^4+… という関数f(x)があったとき {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],…} という関数の係数を並べた数列を、関数と同一視します 関数g(x)を g(x)=b[0]+b[1]x+b[2]x^2+b[3]x^3+b[4]x^4+… とするとき f(x)×g(x)=a[0]b[0]+(a[0]b[…

三角数系やパスカルの三角形の比例

三角数系は僕の造語なので説明すると 三角数を一般次元まで拡張したものの総称です。 三角数は、小さい順に並べると 1,3,6,10,15,21,28,…… というもので、隣り合う項の差をとると 1,2,3,4,5,6,7,…… と自然数の列になります。 通常の三角数を2次三角数と呼ぶ…

等比と小数点

無限等比級数の公式より -1<r<1とするとき 1+r+r^2+r^3+r^4+……=1/(1-r)です。 例としてr=1/2を考えると 1+1/2+1/4+1/8+1/16+……=1/(1-1/2)=1/(1/2)=2 となり、これは2進数で 1.11111111……=10 と書けます。 さて、r=0.1×s(-10<s<10)とすると 1+(0.1×s)+(0.…

1が並んだ数同士のかけ算 その2

前回の記事 mizumiya-umi.hatenablog.com ではレピュニット数(1のゾロ目になっている数)同士の2つのかけ算を考えました。 今回は主に3つ以上のレピュニット数のかけ算を考えます。 この記事では桁の中が10以上になって繰り上がるのを避けるため 125を{1,2,5}…

1が並んだ数同士のかけ算

11や111や1111など、どの桁も1の自然数をレピュニット数と呼ぶそうです レピュニット数同士のかけ算で思いついたことを書きます レピュニット数たちに11をかけてみると、 11×11=121 111×11=1221 1111×11=12221 11111×11=122221 111111×11=1222221 となり、 …

1行目を自由にしたパスカルの三角形の性質

パスカルの三角形の1行目にどのような数をいくつ配置しても、 「隣り合う数の和を下に置く」ことさえ守れば成立する性質を見つけました。 それは、 「n行目のそれぞれの数に、n+1行目にある右斜め下の数を掛けて、和をとったもの」と 「n行目のそれぞれの数…

n次元の四角形と、パスカルの三角形

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com と同じものを、n次元の四角形で考えてみました。 結論としては、 n次元の四角形を構成する0次元以上n次元以下の四角形の個数を並べたものは、 「n行目が21の(n-1)乗になっている」ようなパスカルの三角形と一致す…

n次元の三角形と、パスカルの三角形

n次元の三角形を構成する-1次元以上n次元以下の三角形の個数を並べたものが、パスカルの三角形と同じになるらしいことに気付きました。 構成という言葉は、 三角形は、頂点3つと、線分3つと、面1つで構成されている。 というような意味合いで使っています。 …

打ち消しあうパスカルの三角形とカタラン数 その2

前回と同様、 -1 1 -1 0 1 -1-1 1 1 -1 -2 0 2 1 -1 -3 -2 2 3 1 -1 -4 -5 0 5 4 1 -1 -5 -9 -5 5 9 5 1 -1 -6 -14 -14 0 14 14 6 1 という図とカタラン数の関係について考えます。 各行の一番中央に近い右側の数はカタラン数になっているようです。 中央よ…

打ち消しあうパスカルの三角形とカタラン数

一番上に-1と1を配置し、パスカルの三角形のように計算して数を配置してみます (右上の数と左上の数の和を下に配置する、という計算)。 -1 1 -1 0 1 -1-1 1 1 -1 -2 0 2 1 -1 -3 -2 2 3 1 -1 -4 -5 0 5 4 1 -1 -5 -9 -5 5 9 5 1 中央より左は負の数、中央…

パスカルの三角形と分数

パスカルの三角形の、n行m列目を分子、n+a行m列目を分母にしてできた分数を足し合わせたものは、nだけを大きくしていくと一定量ずつ大きくなっていくようです。 (n行は上からみてn番目の場所、m列は左からみてm番目の場所という意味です。また、数のない場…

パスカルの三角形の中央の数

パスカルの三角形の各行にある計算をすると、その行より下の行の中央の数が表れるらしいことに気付きました。 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126…

パスカルの三角形の中のカタラン数

パスカルの三角形にある計算をすると、カタラン数が表れるらしいことに気付きました。 カタラン数は、小さい順に並べると 1,1,2,5,14,42,132,…… という数たちです。どういう定義の数なのか知りたい方は、検索してみて下さい。 1 11 121 13 3 1 1 …

縦読み

(x+1)^0,(x+1)^1,(x+1)^2,(x+1)^3,………を並べると、 1 x +1 x^2 +2x +1 x^3 +3x^2 +3x +1 x^4 +4x^3 +6x^2 +4x +1 ……… となります。 この図の一番左の項たちを縦に読むと、 1+x+x^2+x^3+x^4+…… となり、左から二番目の項たちを同様に読むと、 1+2x+3x^2+4x^3+…

整数三角形の親子関係・友達関係をちょっと拡張

mizumiya-umi.hatenablog.com で書いたように、 整数a,b,cがa^2+ab+b^2=c^2 を満たし、sを s=3/2×(a+b)-c と定義すると、 (a-s)^2+(a-s)(b-s)+(b-s)^2=(c-s)^2 と a^2+a(-a-b)+(-a-b)^2=c^2 が成り立つのでした。 これを一般化して、 nを整数とするとき、a^2…

n次式と数列上の積

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com の続きです。 前回同様、#という記号を #={1,1,1,1,……} という数列だと定義することにします。 関数f(x)に対して、数列[f(x)]を [f(x)]={f(0),f(1),f(2),f(3),……} と定義します。 f(x)がn次式のとき、[f(x)]をどの…

数列の環とn乗数

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com の続きです。 無限に続く数列の積を見ていきましょう。 {1,1,1,1,……}と、1が延々と続いていく数列を、#という記号で表すことにします。 #={1,1,1,1,……} としたということです。 #^2、つまり#と#の積は、 {1,2,3,4,…

数列の環

この記事では、項数が有限の数列を、そのあとに0という数の入った項が無限に続く数列と見なして扱うことにします。 nを自然数、a[n],b[n]を整数とします。 さて、 {a[1],a[2],a[3],a[4],……}という無限に続く数列と、 {b[1],b[2],b[3],b[4],……}という無限に続…

和が0の行列の体

aを実数とする。 ( a -a)(-a a) という形で表せるすべての二次正方行列の集合は、通常の(行列の)加法と乗法に関して体になるらしいことに気付きました。 この体の乗法の単位元は、 ( 1/2 -1/2)(-1/2 1/2) です。 一般のn次正方行列でも同様のことが言えるよ…

和が1の行列の体 その2

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com では二次正方行列を考えましたが、これをn次正方行列に一般化できるらしいことに気付きました。 まず3次正方行列を見ていきます。 a,b,c,x,y,zを実数とし、a+b+c=1,x+y+z=1となっているとします。 (a b c)(c a b)(…

和が1の行列の体

a,bを実数とする。 ( a 1-a)(1-a a) の形で書けるすべての二次正方行列の集合は、乗法に関して可換群になります。 また、この集合において、 ( a 1-a)(1-a a) と ( b 1-b)(1-b b) の和を、 ( a+b-1/2 -a-b+3/2)(-a-b+3/2 a+b-1/2) と定義すると、加法に関し…

ある形の一般フィボナッチ数列の和で自然数を一意的に表す

aを自然数とする。 f(0)=1,f(1)=1,f(x)+a×f(x+1)=f(x+2) とf(x)を定義し、 g[x]を0,1,2,……,aのうちのいずれかの数になっているとする。 すべての自然数は、 g[1]×f(1)+g[2]×f(2)+…+g[n]×f(n) (nは自然数) の形で表せるだろうと予想しました。 さらに、g[k]=a…

二重ピタゴラス操作の拡張

a,b,cを整数、nを自然数の定数とする。 a^2+n×b^2=c^2 となっているとするとき、 s=2(a+nb-c)/n とすると、 (s-a)^2+n×(s-b)^2=(s-c)^2 となっているだろうと予想しました。 つまり、平方と平方のn倍の和が平方になっているような3つの数の組があるとき、こ…

二重ピタゴラス操作の活用

a,b,cを整数とし、 a^2+b^2=c^2 となっているとき、 s=2(a+b-c) とすると、 (s-a)^2+(s-b)^2=(s-c)^2 となっていて、このような操作を二重ピタゴラス操作と呼ぶことにしたのでした。 さて、x,y,zを整数、nを任意の整数の定数とするとき、 x^2+y^2+n=z^2 つま…

二重ピタゴラス操作の一般化

a[1],a[2],……,a[n]というn個の0以上の整数の和が、bという自然数の平方になるとします。 つまり、 a[1]^2+a[2]^2+……+a[n]^2=b^2 となっているということです。 このようなa[1],……,a[n],bの組を、一つの組から新たに見つけることのできるような計算をおそらく…

分数の和と同一視できるような行列の積

まず分数の和を書きます。 a,cを0でない実数、b,dを実数とするとき、 b/a+d/c=(ad+bc)/ac となっています。 この演算と同じ結果が出るような行列を見つけました。 二次正方行列Xを (a b)(0 a) とし、 二次正方行列Yを (c d)(0 c) とするとき、 行列の積X×Y及…

ピタゴラス数のような行列

a,b,cを既約ピタゴラス数、つまり、 a^2+b^2=c^2となるような既約な自然数とします。 また、aを奇数、bを偶数とします。 A^2+B^2=C^2となるような二次正方行列A,B,Cを、ピタゴラス二次行列と呼ぶことにします。 ピタゴラス二次行列を、ピタゴラス数から作れ…

ピタゴラス数から2通りのやり方で同じ二平方和を作る

mizumiya-umi.hatenablog.com ↑に貼った記事に書いた計算法で、 自然数a[1],b[1],c[1],a[2],b[2],c[2]が a[1]^2+b[1]^2=c[1]^2 a[2]^2+b[2]^2=c[2]^2 を満たすピタゴラス数とするとき、平方数が現れるのでした。 a[1],a[2]を奇数、b[1],b[2]を偶数とし、既約…

mod pのパスカルの三角形で、全ての整数が一度ずつ現れる行のあるもの

pを奇素数とし、 nを2n+1=pとなるような自然数とする。 mod pにおいて、nと(n+1)をふたつ隣りに並べたものを頂点とするようなパスカルの三角形を計算していくと、全ての整数が一度ずつ現れる行が出てくるらしいことに気付きました。証明はできていないので、…

新しい和と積でできる行列の体

通常でない和と積を定義して行列の体を作ることができるようなので投稿します。 まず、この記事で定義する和を巻和、積を巻積と呼ぶことにします。ネーミングに特に深い意味はないです。区別をしたほうが分かりやすいと思ったので名付けました。 これから二…