g(x,m)=f(xg(x,m)^m) とします。 任意の行の母関数にf(x)を掛けると1つ下の行の母関数になるような表の、 全ての行の母関数にh(x)を掛けた表と 全ての傾き-mの直線上の母関数にh(xg(x,m)^m)を掛けた表が同じになります。 また、f(x)のx^kの係数を(1+ak)倍し…

(1-x^k)^(-1/2)×(1+x+x^2+…+x^(k-1) ) を2乗すると (1-x^k)^(-1)×(1+x+x^2+…+x^(k-1) )^2 ＝(1-x)^(-1)×(1+x+x^2+…+x^(k-1) ) になります。 この計算は (1-x)^(-1/2) の係数をk個並べた関数を2乗していると言えます。 係数を具体的に見てみると楽しいです。 …

n番目のカタラン数 f[n] は、f[n]＝2nＣn－2nＣ(n-1) と書けます。 カタラン数の数列の母関数をF(x)とします。 つまり、 F(x)＝f[0]＋f[1]x＋f[2]x^2＋f[3]x^3＋…… ということです。 カタラン数の性質より、F(x)は F(x)＝1＋xF(x)^2 を満たします。 そのこと…

xについての関数L(x,a)を L(x,a)=1＋x×L(x,a)^a と定義します。 L(x,2) はカタラン数の母関数なので、L(x,a) はカタラン数の母関数を一般化したものと思えます。 xについての関数『s,t』を 『s,t』＝sＣ0＋(s+t)Ｃ1×x＋(s+2t)Ｃ2×x^2＋……＋(s+nt)Ｃn×x^n＋………

以前の記事「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形の証明」と関連しています。 mizumiya-umi.hatenablog.com [1],[2],[3],……を変数とします。 k次元パスカルの三角形は、n段目が([1]+[2]+…+[k])^n の係数になるようなものです。(nは0以上の整数) k…

φ＝(1＋√5)/2 とします。φは黄金数とも呼ばれます。 黄金数は φ^n＝φ^(n-2)＋φ^(n-1) という性質を持っています。 フィボナッチ型数列F[n]を F[0]＝1 F[n]＝F[n-1]＋F[n-2] と定義します。F[1]はどんな数にしてもいいです。 任意の数xを、 x＝x×φ^0 として φ…

以前の記事「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」に書いたことを証明しました。 mizumiya-umi.hatenablog.com 松田修、津山工業高等専門学校数学クラブ著「11からはじまる数学(東京図書)」 に書かれている、パスカルの三角形やフィボナッチ数列…

前回の記事の続きです。 mizumiya-umi.hatenablog.com この記事では、パスカルの三角形の1行目の母関数をn次多項式に一般化したものを考えます。 n次多項式F(x)の、m次の係数を{m}と置きます。 F(x)＝{0}＋{1}x＋{2}x^2＋……＋{n}x^n k行目の母関数がF(x)^kに…

パスカルの三角形を左詰めにした 0行目 1 1行目 1,1 2行目 1,2,1 3行目 1,3,3,1 4行目 1,4,6,4,1 5行目 1,5,10,10,5,1 …… を考えます。 1行目の母関数1+xをF(x)とすると、 k行目の母関数はF(x)^kになります。 例えば、k=3とすると、 F(x)^3＝(1+x)^3＝1＋3x…

pを素数とします。 mod p-1 の演算[a]を、 a^x＋a^y＝a^z (mod p) のとき、 x[a]y＝z (mod p-1) と定義します。 aがpと互いに素のとき a^x＝0 (mod p) となるxは存在しませんが、 演算[a]においてa^x＝0 (mod p) となるxに対応する数をrと書くことにします。…

以前の記事「mod p における乗法群を時計のように並べる」を踏まえた内容です。 この記事から読んでも分かるように書いたつもりですが、 分かりにくい箇所があれば参照して下さい。 mizumiya-umi.hatenablog.com nを2以上の整数とします。 mod n の集合 {0,1…

すうじあむというサイトに投稿していた内容を、整理したものです。 タイトルの掛け算時計は、以前の記事『mod p における乗法群を時計のように並べる』で書いた時計のことです。 mizumiya-umi.hatenablog.com 掛け算時計は複素平面に対応づけられ、規則的に…

以前の記事『位数がべき乗の乗法巡回群』で書いた巡回群が、体になることに気付きました。 mizumiya-umi.hatenablog.com 「位数がべき乗の乗法巡回群」で書いた予想は、 mod p^n （pは奇素数、nは正の整数）において、pm＋1（mは整数）の形で表せる数の集合…

この記事は『すうじあむ』というサイトに投稿していた内容を整理したものです。すうじあむ自体現在見れなくなっていて、復活するのかも分からないのでこちらに置いておきます。 pを素数とするとき、mod p において0でない数の集合{1,2,……,p-1}は掛け算に関し…

等比級数とは等比数列の無限和のことで、 mod p とは p で割った余りが同じ数同士を同一視するということです。 1＋1/2＋1/2^2＋1/2^3＋…… ＝2 という等式を、mod 5 で考えてみます。 1＋1/2＋1/2^2＋1/2^3＋…… ＝2 (mod 5)・・・☆ 2×3＝6＝1 (mod 5) なので…

前回の記事『パスカルの三角形を筒状に丸める』の続きです mizumiya-umi.hatenablog.com この記事では前回の後半に書いた 「筒状に丸めたパスカルの三角形において、n＋1行目のq個の数の2乗和は2n＋1行目の中央の数になる」 という予想の、一般化したものを…

パスカルの三角形は １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 このようなものです。これを左に揃えます。 1 1, 1 1, 2, 1 1, 3, 3, 1 1, 4, …

aを10と互いに素な自然数、 pをa×p＋1 が10の倍数になる1桁の正の数、 bを、10^nをaで割ったときの余りとするとき、 b×pを10で割った余りは、1/a の小数第n位と一致することに気付きました。 例としてa＝7のときを見てみます 7×7＋1 が10の倍数なので、p＝7…

「等比と小数点」で書いた内容を、分数の分母が２桁以上の場合でも考えられることに気付きました mizumiya-umi.hatenablog.com 「等比と小数点」で書いたように －10＜s＜10とすると 0.1＋(0.1)^2×s＋(0.1)^3×s^2＋(0.1)^4×s^3＋……＝1/(10－s) となり 小数第…

以前の記事「パスカルの三角形の隠れた規則」の証明をします mizumiya-umi.hatenablog.com パスカルの三角形は １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 12…

以前の記事、『mod pのパスカルの三角形で、全ての整数が一度ずつ現れる行のあるもの』で書いた内容を証明します mizumiya-umi.hatenablog.com pを奇素数、aをpと互いに素な整数とします １行目にa,－aという２つの数を隣り合わせて配置したパスカルの三角形…

以前の記事「数列の環」を踏まえて体を考えました mizumiya-umi.hatenablog.com nを整数とします n項目をa[n]とした数列A{…,a[-2],a[-1],a[0],a[1],a[2],…} n項目をb[n]とした数列B{…,b[-2],b[-1],b[0],b[1],b[2],…} の和A＋Bを {…,a[-2]＋b[-2],a[-1]＋b[-1…

実数aより実数bが大きいときはa＜b、 aよりbが小さいときはa＞bと書き、このような式を不等式と言います つまり、原点から右側が正、左側が負になっている数直線で考えるとき 数直線上でaの右にbがあればa＜b、aの左にbがあればa＞bとなっています 原点の右…

a,b,n,x,yを正の整数、x,yはnと互いに素であるとします nの倍数をaで割った商がx、余りがy nの倍数をbで割った商がy、余りがxになるとき （ab－1）がnの倍数になることに気づきました 例えば 11を4で割った商は2、余りは3 11を3で割った商は3、余りは2で （4…

120度の角をもつ、三辺が整数の三角形をアイゼンシュタイン三角形と言います この記事では アイゼンシュタイン三角形を120度整数三角形 60度の角をもつ三辺が整数の三角形を60度整数三角形 と呼ぶことにします i＝√(－1)とし、ω＝(1＋(√3)i)/2とします ωは6…

zをp乗して1になる数 z^p＝1（zは1でない複素数、pは2以上の整数） aを複素数とし b＝( (p-1)＋(p-2)z＋(p-3)z^2＋……＋z^(p-2) )×a/p とします xを任意の複素数とするとき xz＋aは、 bを中心として、複素平面上で反時計回りにxを1/p回転させた値になることに…

前回の記事 mizumiya-umi.hatenablog.com で書いた操作[k]について新しく考えたことを書きます 操作[k]は、a^2＋b^2＝c^2となる組〈a,b,c〉から 〈a＋z, b＋kz, c＋kz〉という組を作るものでした ただしzはz＝ー2aー2kb＋2kc と定義したもので、 (a＋z)^2＋(…

前回の記事 mizumiya-umi.hatenablog.com の後半で書いた予想を証明しました a,b,cがa^2＋b^2＝c^2となる整数のとき z＝ー2aー2kb＋2kc （kは実数） とzを定義すると (a＋z)^2＋(b＋kz)^2＝(c＋kz)^2 となっています （z＝ーsとすれば、前回の記事の前半で証…

a,b,cをa^2＋b^2＝c^2となる整数とします s＝2(a＋kbーkc) （kは実数） とsを定義するとき (aーs)^2＋(bーks)^2＝(cーks)^2 となっていることに気付きました つまり絶対値がピタゴラス数の組a,b,cから、 絶対値がピタゴラス数の組(aーs),(bーks),(cーks)を作…

前回の記事 mizumiya-umi.hatenablog.com のピタゴラス数と複素平面のつながりのように 4次ピタゴラス数と四元数でも同様のつながりがあることに気付きました 4次ピタゴラス数は僕の造語で a^2＋b^2＋c^2＋d^2＝e^2 を満たすような整数a,b,c,d,eの組です 四…