a(n),b(n),c(n),d(n)を0以上の整数とする
F(1)とF(2)を互いに素な自然数、F(1)+F(2)=F(3)とする
F(n)×a(n)-F(n+1)×b(n)=(-1)^n,
F(n)×c(n)-F(n+1)×d(n)=(-1)^(n-1)
とするとき
a(n),b(n),c(n),d(n)はそれぞれフィボナッチ型数列になる、と予想しました
(ただしa(n),b(n),c(n),d(n)をF(n),F(n+1)の大きいほうより小さい数であるとする)
具体例を挙げます。
F(1)=5,F(2)=3とする(つまりF(n)は5,3,8,11,19,30,……と続いていく)
a(n)とb(n)を求めてみる
n=1のとき
5a(1)-3b(1)=-1なので、a(1)=1,b(1)=2
n=2のとき
3a(2)-8b(2)=1なので、a(2)=3,b(2)=1
n=3のとき
8a(3)-11b(3)=-1なので、a(3)=4,b(3)=3
n=4のとき
11a(4)-19b(4)=1なので、a(4)=7,b(4)=4
n=5のとき
19a(5)-30b(5)=-1なので、a(5)=11,b(5)=7
となり、
a(n)は1,3,4,7,11,……、b(n)は2,1,3,4,7,……と続いていくことが分かり、小さい値ではフィボナッチ型数列の条件を満たしています。
c(n),d(n)も同様です。
拡張した予想を考えたので書いておきます
j,kを互いに素な自然数とする
G(n)がj×G(n)+k×G(n+1)=G(n+2)を満たし、且つ隣り合う項が互いに素になっているとする
G(n)×a(n)-G(n+1)×b(n)=(-1)^n,
G(n)×c(n)-G(n+1)×d(n)=(-1)^(n-1)
とするとき
j×a(n)+k×a(n+1)=a(n+2)となっている(b(n),c(n),d(n)もa(n)と同様)
(ただしa(n),b(n),c(n),d(n)をG(n),G(n+1)の大きいほうより小さい数であるとする)
以上です!なにかあればコメントください。
お読みいただきありがとうございました!