明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

フィボナッチと互いに素

a(n),b(n),c(n),d(n)を0以上の整数とする

 

F(1)とF(2)を互いに素な自然数、F(1)+F(2)=F(3)とする

 

F(n)×a(n)-F(n+1)×b(n)=(-1)^n,

F(n)×c(n)-F(n+1)×d(n)=(-1)^(n-1)

とするとき

a(n),b(n),c(n),d(n)はそれぞれフィボナッチ型数列になる、と予想しました

(ただしa(n),b(n),c(n),d(n)をF(n),F(n+1)の大きいほうより小さい数であるとする)

 

具体例を挙げます。

F(1)=5,F(2)=3とする(つまりF(n)は5,3,8,11,19,30,……と続いていく)

a(n)とb(n)を求めてみる

n=1のとき

5a(1)-3b(1)=-1なので、a(1)=1,b(1)=2

n=2のとき

3a(2)-8b(2)=1なので、a(2)=3,b(2)=1

n=3のとき

8a(3)-11b(3)=-1なので、a(3)=4,b(3)=3

n=4のとき

11a(4)-19b(4)=1なので、a(4)=7,b(4)=4

n=5のとき

19a(5)-30b(5)=-1なので、a(5)=11,b(5)=7

 

となり、

a(n)は1,3,4,7,11,……、b(n)は2,1,3,4,7,……と続いていくことが分かり、小さい値ではフィボナッチ型数列の条件を満たしています。

c(n),d(n)も同様です。

 

拡張した予想を考えたので書いておきます

j,kを互いに素な自然数とする

G(n)がj×G(n)+k×G(n+1)=G(n+2)を満たし、且つ隣り合う項が互いに素になっているとする

G(n)×a(n)-G(n+1)×b(n)=(-1)^n,

G(n)×c(n)-G(n+1)×d(n)=(-1)^(n-1)

とするとき

j×a(n)+k×a(n+1)=a(n+2)となっている(b(n),c(n),d(n)もa(n)と同様)

(ただしa(n),b(n),c(n),d(n)をG(n),G(n+1)の大きいほうより小さい数であるとする)

 

以上です!なにかあればコメントください。

お読みいただきありがとうございました!