xについての関数L(x,a)を
L(x,a)=1＋x×L(x,a)^a
と定義します。
L(x,2) はカタラン数の母関数なので、L(x,a) はカタラン数の母関数を一般化したものと思えます。
xについての関数『s,t』を
『s,t』＝sＣ0＋(s+t)Ｃ1×x＋(s+2t)Ｃ2×x^2＋……＋(s+nt)Ｃn×x^n＋……
と定義します。
sＣuは組み合わせのことで、
sＣu＝s×(s-1)×(s-2)×…×(s-u+1)/u! という定義です。（ただし、sＣ0＝1 とします。）
0以上の整数s,u について sＣu を並べると、パスカルの三角形になります。
nを整数とします。
L(x,a)^n を微分すると『a+n-1,a』のn倍になること、つまり
(L(x,a)^n)'＝n×『a+n-1,a』
になることを、この記事で証明します。
以前の記事「パスカルの三角形やカタラン数での母関数の関係」で、
L(x,a)^n×『s,a』＝『s+n,a』 を証明しました。
L(x,a)の導関数L'(x,a) を l(x,a) と書くことにします。
(L(x,a)^n)' ＝n×L(x,a)^(n-1)×l(x,a) ※微分の公式より
『a+n-1,a』＝L(x,a)^(n-1)×『a,a』 なので、
l(x,a)＝『a,a』 さえ示せば
(L(x,a)^n)'＝n×『a+n-1,a』 が証明できると分かりました。
『a,a』×L(x,a)^-a＝(a×L(x,a)^(-1)－a＋1)^-1 を示したあとに
l(x,a)×L(x,a)^-a ＝(a×L(x,a)^(-1)－a＋1)^-1 を示すことで、
『a,a』×L(x,a)^-a＝l(x,a)×L(x,a)^-a
つまり、 l(x,a)＝『a,a』 を証明します。
『0,a』×(a×L(x,a)^(-1)－a＋1)
＝L(x,a)^(-1)×『0,a』×a－『0,a』×(a-1)
＝ 『-1,a』×a －『0,a』×(a-1) ※L(x,a)^(-1)×『s,a』＝『s-1,a』より
＝ ( (-1)Ｃ0×a －0Ｃ0×(a-1))
＋( (a-1)Ｃ1×a －aＣ1×(a-1))x
＋( (2a-1)Ｃ2×a－2aＣ2×(a-1))x^2
＋……
＋( (na-1)Ｃn×a－naＣn×(a-1))x^n
＋…… ※『s,t』の定義より
＝1 ※ (ka-1)Ｃk×a－kaＣk×(a-1)＝0 (kは正の整数) より
なので 『0,a』＝(a×L(x,a)^(-1)－a＋1)^-1 と分かり、
『a,a』×L(x,a)^-a＝『0,a』なので
『a,a』×L(x,a)^-a＝(a×L(x,a)^(-1)-a+1)^-1 が示せました。
次に l(x,a)×L(x,a)^-a＝(a×L(x,a)^(-1)－a＋1)^-1 を示します。
l(x,a)＝(L(x,a))'
＝(1＋x×L(x,a)^a)' ※L(x,a)の定義より
＝L(x,a)^a＋ax×L(x,a)^(a-1)×l(x,a) なので、
l(x,a)－ax×L(x,a)^(a-1)×l(x,a)＝L(x,a)^a ※ax×L(x,a)^(a-1)×l(x,a) を移項した
l(x,a)×(1－ax×L(x,a)^(a-1))＝L(x,a)^a ※左辺をl(x,a) で括った
l(x,a)×L(x,a)^-a＝(1－ax×L(x,a)^(a-1))^-1
※両辺に(1－ax×L(x,a)^(a-1))^-1×L(x,a)^-a を掛けた
l(x,a)×L(x,a)^-a＝(1－a(1－L(x,a)^(-1)))^-1
※L(x,a)=1+x×L(x,a)^a より、x×L(x,a)^(a-1)＝1－L(x,a)^-1 を代入した
l(x,a)×L(x,a)^-a＝(1－a＋a×L(x,a)^(-1)))^-1
となり l(x,a)×L(x,a)^-a＝(a×L(x,a)^(-1)－a＋1)^-1 が示せました。
よって、『a,a』×L(x,a)^-a＝l(x,a)×L(x,a)^-a だと示せたので、
l(x,a)＝『a,a』 だと分かり、
(L(x,a)^n)'＝n×『a+n-1,a』 が証明できました。
長い間証明したかった予想なので、証明できてうれしいです。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
