明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

a+b+1を和、a+b+abを積とする体およびその拡張

演算☆,♡を

a☆b=(a+1)+(b+1)-1=a+b+1

a♡b=(a+1)(b+1)-1=a+b+ab

と定義する。

 

{0,1,……,p-1}(mod p)(pは素数)において☆を加法、♡を乗法とするとき、

{0,1,……,p-1}は加法の単位元が(p-1),乗法の単位元が0の体になることに気付きました。

 

証明も多分できたので概要を書いておきます。

 

ある集合が体になっていることを証明するには、加法に関して可換群になっていて、加法の単位元を除いた集合も乗法に関して可換群になっていて、分配法則(a×(b+c)=ab+ac)が成り立っていることを示せばよいのでした。

 

これからmod pを省略して書きます

a,bを任意の集合の元とするとき

a☆b=b☆a,a♡b=b♡a,a☆(p-1)=a,a♡0=aは自明です

このことから加法、乗法ともに交換法則が成立していることと単位元が存在することが示せました。

また、a☆x=p-1,c♡y=0となる元x,yがどんなa,どんな(p-1)でない元cに対しても存在することから、逆元の存在が示せます。

a☆(b☆c)=(a☆b)☆c,a♡(b♡c)=(a♡b)♡cという結合法則、a♡(b☆c)=(a♡b)☆(a♡c)という分配法則も、計算すれば成立していることが分かります。

 

このようにして証明できます。

 

また、べき算も定義できることに気付きました。

演算〇を、a〇b=(a+1)^(b+1)-1と定義すると、この演算は今回考えた体のべき算になっています。

 

実際、普通の演算でいうa^(b+c)=a^b×a^cに相当する等式も、成立しています。

a〇(b☆c)=a〇(b+c+1)=(a+1)^(b+c+2)-1

(a〇b)♡(a〇c)=((a+1)^(b+1)-1)♡((a+1)^(c+1)-1)

=((a+1)^(b+1)-1)+((a+1)^(c+1)-1)+((a+1)^(b+1)-1)((a+1)^(c+1)-1)=(a+1)^(b+c+2)-1

となることから、確かめられました。

 

 普通の演算において、足し算の時計、掛け算の時計、べき算の時計があるように、この体でも☆の時計、♡の時計、〇の時計を作ることができると思われます。時計については多分僕の投稿をすうじあむの頃からずっと見てくれている人しか分からないと思うので、URLを貼っておきます。

皆の投稿 - 冪時計 - 数学博物館 すうじあむ

 

では拡張を考えていきます。

演算¥,〒をa¥b=a+b+n,a〒b=a+b+(ab)/nと定義するとき、

¥を加法、〒を乗法とすると、

nがpを法として0でないならば、

{0,1,……,p-1}(mod p)は加法の単位元が-n,乗法の単位元が0の体になるようです。

 

更に拡張したものとして、

mをnと互いに素な自然数とするとき

{0,1,……,m-1}(mod m)は¥に関して巡回群になり、さらに演算¥においての巡回群{0,1,……,m-1}の生成元の集合は、〒に関して群になると予想しました。

 

以上です!お読みいただきありがとうございました!