その１を読んでからお読みください。 その１と同じように数を渦状に並べます。 42 43 44 45 46 47 48 49 41 20 21 22 23 24 25 50 40 19 ６ ７ ８ ９ 26 51 39 18 ５ ０ １ 10 27 52 38 17 ４ ３ ２ 11 28 53 37 16 15 14 13 12 29 54 36 35 34 33 32 31 30 …

0以上の整数を小さい順に渦巻き状に並べていくと平方数、つまり整数を２乗した数が綺麗に並ぶことに気付いたので投稿します。とても簡単で、おそらく有名な事実だとは思います。 では数を渦状に並べます。 41 20 21 22 23 24 25 40 19 ６ ７ ８ ９ 26 39 18 …

木村俊一著『連分数のふしぎ(講談社)』を参考にさせていただきました。非常に面白い本なのでおすすめです。 まず純循環連分数の説明をします とは言っても、連分数をはてなブログでどうやって書いたらいいのか分からないので、連分数についてはググってもら…

aを2以上の自然数とします。 1/a+1/a^2+1/a^3+1/a^4+……=1/(a-1) となっています。この式は無限等比級数の和の公式として有名です。 分子を自然数にするとどうなるでしょうか？ つまり、 1/a+2/a^2+3/a^3+4/a^4+…… という式です。 これは実は無限等比級数の和…

aを2以上の自然数とする。 a^n-a^(n-1)+a^(n-2)-a^(n-3)+……a^0=f(n)とおくとき af(n)+(a-1)f(n+1)=f(n+2)になっていることに気付きました 例えば、a=2のとき f(0)=1 f(1)=2-1=1 f(2)=4-2+1=3 f(3)=8-4+2-1=5 f(4)=16-8+4-2+1=11 となって、2f(n)+f(n+1)=f(n+…

「九九の表の数をグループ分け」のパスカルの三角形バージョンです mizumiya-umi.hatenablog.com ではグループ分けを見ていきます 1段のみの場合は、1が含まれるグループと何も含まれないグループができるので、差は1 2段までのとき １ １１ 太字の数の和と…

九九の表のなかの数を2つのグループに分け、それぞれのグループのなかで総和をとって、現れた2つの数の差をとっていくと規則性が現れることに気付きました。 言葉では分かりづらいので、表を書きます。 1の段のみの九九の表は、1が含まれるグループと何も含…

九九をある模様の形にくり抜くと、その模様の中の数の和と模様の外の数の和が同じ、あるいは差が1だけにできることに気付きました。 では、九九の表を二等分する模様を紹介していきます。 3までの数の九九の表のとき 1 2 32 4 63 6 9 太字の数の和は1+2+2+4+…

まずパスカルの三角形を書きます。 １ １１ １２１ １３ ３ １ １ ４ ６ ４ １ １ ５ 10 10 ５ １ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 これを、頂点が入るように菱形状にくり抜き、和をとって1を足す…

「九九と2乗」の続きですが、2乗は出て来ません。 三角数の九九を考えてみます。n番目の三角数はn(n+1)/2です。 三角数の九九とは何かと言えば簡単で、掛ける数を自然数ではなく三角数にしただけです。 1 3 6 10 15 3 9 18 30 45 6 18 36 60 9010 30 60 100 …

まず、九九の表を書きます。 1 2 3 4 5 6 7 8 92 4 6 8 10 12 14 16 183 6 9 12 15 18 21 24 274 8 12 16 20 24 28 32 365 10 15 20 25 30 35 40 456 12 18 24 30 36 42 48 547 14 21 28 35 42 49 56 638 16 24 32 40 48 56 64 729 18 27 36 45 54 63 72 81 …

べき乗は群の条件を満たしていないので、どう条件を緩めたら群になるかを考えてみます。 べき乗を＊と書くことにします。 べき乗の演算を考えるので、a＊bという計算はaがmod p、bがmod p-1になってしまいます。(a^(p-1)=a^0(フェルマーの小定理)なので) よ…

一般フィボナッチ数列af(n)+bf(n+1)=f(n+2)を、「フィボナッチ数列のなかから現れるリュカ数列」という投稿のときのように、kつごとに行を変えていく表にし、縦に見たときの規則性を探りたいと思います。 一つごとに行を変えて表にした場合は当然 af(n)+bf(n…

まず、フィボナッチ数列を三つごとに行を変えて並べてみます。 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 この表をたてに見ます 任意の列の一行目をf(1)、二行目をf(2)、n行目をf(n)とすると、 f(n)+4f(n+1)=f(n+2) という式を満たしていることに気付きま…

パスカルの三角形の、一つの行にあるすべての数をそれぞれ2乗して和をとると、ある行の真ん中にある数になることに気付きました。 ↓はパスカルの三角形です １ １１ １２１ １３３１ １４６４１ １５1010５１ 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 5…

(普通のパスカルの三角形からフィボナッチ数列を取り出すときのように)斜めに足していくことでaのべき乗が現れるようなパスカルの三角形を思いつきました。 まず、a=2、つまり2のべき乗の場合から見てみます。 左上の数の倍と右上の数の和が下の数になるよう…

その1の続きです。 その1では2次k-1角数が現れるような1次k角数を並べた表を記したので、それ以上の次数のk-1角数とk角数の表について記していきたいと思います。 3次k-1角数が現れるような2次k角数を並べた表は、2次k-1角数が現れるような1次k角数を並べた…

まず2-フィボナッチ数列、つまり普通のフィボナッチ数列の場合を例にあげます。 f(1)=1,f(2)=0,f(n)+f(n+1)=f(n+2)とフィボナッチ型数列f(n)を定義すると、 f(n)+f(n-1)+f(n-2)……+f(2)+f(1)がn番目の(初期値が1,1の)フィボナッチ数列になることに気付きまし…

「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」の拡張です。 分かりやすくする為、「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」に書いた内容を書き換えて、三角形状ではなく四角形状にします。 1 1 1 1 13 3 3 3 35 5 5 5 57 7 7 7 79 9 9 9 9 の上を通る、急な角度の左下…

1次k角数、2次k角数、3次k角数、……を総称してk角数系と呼ぶことにします。 普通のパスカルの三角形は、3角数系で構成されています。 １ １１ １２１ １３３１ １４６４１ １５10 10５１ 1 6 15 20 15 6 1 各行の一番左の数は0次三角数、左から2番目の数は1次…

「n角錐数に対応する九九の表」の拡張ができました mizumiya-umi.hatenablog.com 0次三角数を1と定義し、 1次三角数を自然数、つまり1次三角数のa番目をaと定義します 下の表は、0次三角数を上から小さい順（とは言ってもすべて1ですが）に並べ、2次四角数、…

下の図のような、奇数を並べた三角形を考えます 1 3 1 5 3 1 7 5 3 1 9 7 5 3 1 11 9 7 5 3 1 「k-フィボナッチ数列に対応するパスカルの三角形」で書いたように左下から右上へ数を足すと、 この図から三角数を取り出すことができるらしいと気付きました 実…

「三角錐数に対応する数の敷き詰め」に書いた内容の、「高次三角数に対応する数の積」とは違う方向への拡張です mizumiya-umi.hatenablog.com 「三角錐数に対応する数の敷き詰め」に書いた内容は、九九と三角錐数が対応している、とも言えます 九九の表は 1 …

「三角錐数に対応する数の敷き詰め」の拡張を書きます mizumiya-umi.hatenablog.com タイトルの高次三角数というのは僕の造語です 三角錐数を３次三角数と名付けることにし、 n次三角数を小さい順に足したものをn+1次三角数と呼ぶことにします ４次三角数は…

三角錐数とは、三角数を小さい順に足したもののことです。 三角数とは、自然数を小さい順に足したもののことです。 自然数を小さい順に並べると 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…… となり、 三角数を小さい順に並べると 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…… となり、 三角…