pを素数とします。 mod p-1 の演算[a]を、 a^x+a^y=a^z (mod p) のとき、 x[a]y=z (mod p-1) と定義します。 aがpと互いに素のとき a^x=0 (mod p) となるxは存在しませんが、 演算[a]においてa^x=0 (mod p) となるxに対応する数をrと書くことにします。…
以前の記事『位数がべき乗の乗法巡回群』で書いた巡回群が、体になることに気付きました。 mizumiya-umi.hatenablog.com 「位数がべき乗の乗法巡回群」で書いた予想は、 mod p^n (pは奇素数、nは正の整数)において、pm+1(mは整数)の形で表せる数の集合…
この記事は『すうじあむ』というサイトに投稿していた内容を整理したものです。すうじあむ自体現在見れなくなっていて、復活するのかも分からないのでこちらに置いておきます。 pを素数とするとき、mod p において0でない数の集合{1,2,……,p-1}は掛け算に関し…
等比級数とは等比数列の無限和のことで、 mod p とは p で割った余りが同じ数同士を同一視するということです。 1+1/2+1/2^2+1/2^3+…… =2 という等式を、mod 5 で考えてみます。 1+1/2+1/2^2+1/2^3+…… =2 (mod 5)・・・☆ 2×3=6=1 (mod 5) なので…
以前の記事、『mod pのパスカルの三角形で、全ての整数が一度ずつ現れる行のあるもの』で書いた内容を証明します mizumiya-umi.hatenablog.com pを奇素数、aをpと互いに素な整数とします 1行目にa,-aという2つの数を隣り合わせて配置したパスカルの三角形…
a,b,n,x,yを正の整数、x,yはnと互いに素であるとします nの倍数をaで割った商がx、余りがy nの倍数をbで割った商がy、余りがxになるとき (ab-1)がnの倍数になることに気づきました 例えば 11を4で割った商は2、余りは3 11を3で割った商は3、余りは2で (4…
aを実数とする。 ( a -a)(-a a) という形で表せるすべての二次正方行列の集合は、通常の(行列の)加法と乗法に関して体になるらしいことに気付きました。 この体の乗法の単位元は、 ( 1/2 -1/2)(-1/2 1/2) です。 一般のn次正方行列でも同様のことが言えるよ…
前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com では二次正方行列を考えましたが、これをn次正方行列に一般化できるらしいことに気付きました。 まず3次正方行列を見ていきます。 a,b,c,x,y,zを実数とし、a+b+c=1,x+y+z=1となっているとします。 (a b c)(c a b)(…
pを奇素数とし、 nを2n+1=pとなるような自然数とする mod pにおいて、nと(n+1)をふたつ隣りに並べたものを頂点とするようなパスカルの三角形を計算すると、全ての整数が一度ずつ現れる行が出てくるようだと思いました。証明はできていません。 例を挙げます …
通常でない和と積を定義して行列の体を作ることができるようなので投稿します。 まず、この記事で定義する和を巻和、積を巻積と呼ぶことにします。ネーミングに特に深い意味はないです。区別をしたほうが分かりやすいと思ったので名付けました。 これから二…
↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (x y)(z w) というように書くことにします。 pを素数とします。 mod pにおいて、 aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]の、一番長いループの長さと…
二次正方行列を (a b)(c d) という形で書くことにする mod 5において、 (0 0) (1 3) (3 4) (4 2) (2 1)(0 0) (4 2) (2 1) (1 3) (3 4) という5個の正方行列の集合は、 (0 0)(0 0)を加法の単位元、 (2 1)(3 4)を乗法の単位元とする体になることに気付きました…
pを素数とし、 m乗するとxになる数を(m)√(x)という表記で書くことにし、 kを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 g(0)=0 g(1)=1 (k)√(g(n)^k+g(n+1)^k)=g(n+2) で定義される数列g(n)と、 フィボナッチ数列のmod pでのループの長さが一致すると予想しまし…
pを素数とします。 m乗するとxになる数を、(m)√(x)という表記で書くことにします。 nを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 演算◇を、a◇b=(n)√(a^n+b^n)と定義するとき、 mod pにおける{0,1,2,……,p-1}という集合は、演算◇に関して位数pの巡回群になります…
pを素数とし、a,bをmod pで0でない整数とする。 以下の等式はすべてmod pで考える。 nを整数とする。 af(n)+bf(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1)=1で定義される一般フィボナッチ数列f(n)の、nを0より大きくしていき、最初にf(n)=0,f(n+1)=1となるようなnをf(n)のルー…
pを素数、nを2以上の自然数とします。 mod pにおけるある既約n次多項式の根を生成元とする乗法巡回群に0という元を含めたものが、元の個数がp^n個の体になるだろうと予想しました。 既約n次多項式の根であっても体になるような集合を作れないものもあります…
pを素数とし、 nを、pの倍数であり、p^2の倍数でない自然数とするとき、 mod nにおいて{0,n/p,2n/p,……,(p-1)n/p}という集合が体になることに気付きました。 具体例を書きます。 n=21,p=7、つまり、 mod 21において{0,3,6,9,12,15,18}という集合が体になるこ…
nを2以上の自然数、a,bを整数とする mod n^2において、 anとbnの和が(a+b)nになることと、(an+1)と(bn+1)の積が((a+b)n+1)になることが、似ていることに気付きました。 つまり、 {0,n,2n,……,(n-1)n} (mod n^2)という加法群と、 {1,n+1,2n+1,……,((n-1)n+1)}(m…
pを奇素数、nを2以上の自然数とする。 mod p^nの元のうち、pで割った余りが1になるようなものの集合は、乗法に関して位数p^(n-1)の巡回群になるようです。 例としてp=5,n=2、つまりmod 25のときをあげると 6^0=1 6^1=6 6^2=11 6^3=16 6^4=21 6^5=1=6^0 とな…
pを素数とする mod pにおいて、{a,b}というように、2つの整数の組を考える。 演算$を、 {a,b}${c,d}={ac+bd,ad+bc} と定義するとき、 mod pにおける2つの整数の組{a,b}(ただしa+b≠0,a-b≠0)の集合Zは演算$に関して、位数(p-1)^2の可換群になっていると予想し…
演算☆,♡を a☆b=(a+1)+(b+1)-1=a+b+1 a♡b=(a+1)(b+1)-1=a+b+ab と定義する。 {0,1,……,p-1}(mod p)(pは素数)において☆を加法、♡を乗法とするとき、 {0,1,……,p-1}は加法の単位元が(p-1),乗法の単位元が0の体になることに気付きました。 証明もできたので概要を…
演算@を a@b=a+ab+b と定義するとき、 {0,1,……,p-2}(mod p)(pは素数)は@に関して巡回群になっていることに気付きました。 ここから先mod pは省略します 逆元と単位元が存在し、結合法則が成り立ち、与えられた演算に関して閉じていれば群と呼ぶのでした。 …
pを素数とする mod pにおける原始根がすべて現れる式を見つけたので投稿します。有名かもしれないですし、mod pにおける原始根をひとつは知っていないと作れない式なのですが…… nを整数とします。 例をまずあげます。 mod5における原始根は2,3でした。 これ…
べき乗は群の条件を満たしていないので、どう条件を緩めたら群になるかを考えてみます。 べき乗を*と書くことにします。 べき乗の演算を考えるので、a*bという計算はaがmod p、bがmod p-1になってしまいます。(a^(p-1)=a^0(フェルマーの小定理)なので) よ…
タイトル通り証明を思いついたので投稿します f(0)(p,n)=(n-1)^(p-1) (mod p) となっていることに気付きました。 このことの証明は、(p-1)Cmが、mが偶数のとき1になり、mが奇数のとき-1になることから分かります。 (p-1)Cmという記号は、(p-1)(p-2)(p-3)……(p…
「mod pにおける円分多項式の微分」の続きです。是非「mod pにおける円分多項式の微分」を先にお読み下さい pを素数、n≠1(mod p)(nは整数)とするとき f(t)(p,n) (mod p) を、tを固定してnを動かすと、どうやら表れる値に規則性があるらしいことに気付きまし…
mod pで円分多項式をいじっていたら面白いことに気付いたので投稿します mod pとはpで割った余りのみを考えるということです 例えばmod 7で10と3は7で割った余りが同じなので、10=3 (mod 7)というように書くことができます 円分多項式についても書いておきま…