明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

mod pのパスカルの三角形で全ての整数が一度ずつ現れる行があるものの証明

以前の記事、『mod pのパスカルの三角形で、全ての整数が一度ずつ現れる行のあるもの』で書いた内容を証明します mizumiya-umi.hatenablog.com pを奇素数、aをpと互いに素な整数とします 1行目にa,-aという2つの数を隣り合わせて配置したパスカルの三角形…

商と余りをひっくり返す

a,b,n,x,yを正の整数、x,yはnと互いに素であるとします nの倍数をaで割った商がx、余りがy nの倍数をbで割った商がy、余りがxになるとき (abー1)がnの倍数になることに気づきました 例えば 11を4で割った商は2、余りは3 11を3で割った商は3、余りは2で (4…

和が0の行列の体

aを実数とする。 ( a -a)(-a a) という形で表せるすべての二次正方行列の集合は、通常の(行列の)加法と乗法に関して体になるらしいことに気付きました。 この体の乗法の単位元は、 ( 1/2 -1/2)(-1/2 1/2) です。 一般のn次正方行列でも同様のことが言えるよ…

和が1の行列の体 その2

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com では二次正方行列を考えましたが、これをn次正方行列に一般化できるらしいことに気付きました。 まず3次正方行列を見ていきます。 a,b,c,x,y,zを実数とし、a+b+c=1,x+y+z=1となっているとします。 (a b c)(c a b)(…

mod pのパスカルの三角形で、全ての整数が一度ずつ現れる行のあるもの

pを奇素数とし、 nを2n+1=pとなるような自然数とする mod pにおいて、nと(n+1)をふたつ隣りに並べたものを頂点とするようなパスカルの三角形を計算すると、全ての整数が一度ずつ現れる行が出てくるようだと思いました。証明はできていません。 例を挙げます …

新しい和と積でできる行列の体

通常でない和と積を定義して行列の体を作ることができるようなので投稿します。 まず、この記事で定義する和を巻和、積を巻積と呼ぶことにします。ネーミングに特に深い意味はないです。区別をしたほうが分かりやすいと思ったので名付けました。 これから二…

mod pにおける行列の体と無理数による体をフィボナッチでつなげる

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (x y)(z w) というように書くことにします。 pを素数とします。 mod pにおいて、 aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]の、一番長いループの長さと…

mod pにおける行列の体

二次正方行列を (a b)(c d) という形で書くことにする mod 5において、 (0 0) (1 3) (3 4) (4 2) (2 1)(0 0) (4 2) (2 1) (1 3) (3 4) という5個の正方行列の集合は、 (0 0)(0 0)を加法の単位元、 (2 1)(3 4)を乗法の単位元とする体になることに気付きました…

フィボナッチ数列とmod pでのループの長さが一致する数列

pを素数とし、 m乗するとxになる数を(m)√(x)という表記で書くことにし、 kを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 g(0)=0 g(1)=1 (k)√(g(n)^k+g(n+1)^k)=g(n+2) で定義される数列g(n)と、 フィボナッチ数列のmod pでのループの長さが一致すると予想しまし…

mod pのもうひとつの体

pを素数とします。 m乗するとxになる数を、(m)√(x)という表記で書くことにします。 nを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 演算◇を、a◇b=(n)√(a^n+b^n)と定義するとき、 mod pにおける{0,1,2,……,p-1}という集合は、演算◇に関して位数pの巡回群になります…

mod pにおける一般フィボナッチ数列と2次方程式の解のループの長さと位数の一致

pを素数とし、a,bをmod pで0でない整数とする。 以下の等式はすべてmod pで考える。 nを整数とする。 af(n)+bf(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1)=1で定義される一般フィボナッチ数列f(n)の、nを0より大きくしていき、最初にf(n)=0,f(n+1)=1となるようなnをf(n)のルー…

mod pにおける既約n次多項式の根による元の個数p^nの体

pを素数、nを2以上の自然数とする。 mod pにおけるある既約n次多項式の根を生成元とする乗法巡回群に0という元を含めたものが、元の個数がp^n個の体になるだろうと予想しました。 既約n次多項式の根であっても体になるような集合を作れないものもありますが…

合成数を法とするときにも、体は作れる!

pを素数とし、 nを、pの倍数であり、p^2の倍数でない自然数とするとき、 mod nにおいて{0,n/p,2n/p,……,(p-1)n/p}という集合が体になることに気付きました。 具体例を書きます。 n=21,p=7、つまり、 mod 21において{0,3,6,9,12,15,18}という集合が体になるこ…

平方数を法とするときの加法群と乗法群の同一視

nを2以上の自然数、a,bを整数とする mod n^2において、 anとbnの和が(a+b)nになることと、(an+1)と(bn+1)の積が((a+b)n+1)になることが、似ていることに気付きました。 つまり、 {0,n,2n,……,(n-1)n} (mod n^2)という加法群と、 {1,n+1,2n+1,……,((n-1)n+1)}(m…

位数がべき乗の乗法巡回群

pを奇素数、nを2以上の自然数とする。 mod p^nの元のうち、pで割った余りが1になるようなものの集合は、乗法に関して位数p^(n-1)の巡回群になるようです。 例としてp=5,n=2、つまりmod 25のときをあげると 6^0=1 6^1=6 6^2=11 6^3=16 6^4=21 6^5=1=6^0 とな…

新しい群を考えてみた

pを素数とする mod pにおいて、{a,b}というように、2つの整数の組を考える。 演算$を、 {a,b}${c,d}={ac+bd,ad+bc} と定義するとき、 mod pにおける2つの整数の組{a,b}(ただしa+b≠0,a-b≠0)の集合Zは演算$に関して、位数(p-1)^2の可換群になっていると予想し…

a+b+1を和、a+b+abを積とする体およびその拡張

演算☆,♡を a☆b=(a+1)+(b+1)-1=a+b+1 a♡b=(a+1)(b+1)-1=a+b+ab と定義する。 {0,1,……,p-1}(mod p)(pは素数)において☆を加法、♡を乗法とするとき、 {0,1,……,p-1}は加法の単位元が(p-1),乗法の単位元が0の体になることに気付きました。 証明も多分できたので概…

a+ab+bと巡回群

演算@を a@b=a+ab+b と定義するとき、 {0,1,……,p-2}(mod p)(pは素数)は@に関して巡回群になっていることに気付きました。 ここから先mod pは省略します 逆元と単位元が存在し、結合法則が成り立ち、与えられた演算に関して閉じていれば群と呼ぶのでした。 …

原始根が現れる式

pを素数とする mod pにおける原始根がすべて現れる式を見つけたので投稿します。有名かもしれないですし、mod pにおける原始根をひとつは知っていないと作れない式なのですが…… nを整数とします。 例をまずあげます。 mod5における原始根は2,3でした。 これ…

群の条件を緩めてmod pにおいてべき乗で群のようなものを作ろうとしてみる

べき乗は群の条件を満たしていないので、どう条件を緩めたら群になるかを考えてみます。 べき乗を*と書くことにします。 べき乗の演算を考えるので、a*bという計算はaがmod p、bがmod p-1になってしまいます。(a^(p-1)=a^0(フェルマーの小定理)なので) よ…

mod pにおける円分多項式の微分 その1その2の証明

タイトル通り証明を思いついたので投稿します f(0)(p,n)=(n-1)^(p-1) (mod p) となっていることに気付きました。 このことの証明は、(p-1)Cmが、mが偶数のとき1になり、mが奇数のとき-1になることから分かります。 (p-1)Cmという記号は、(p-1)(p-2)(p-3)……(p…

mod pにおける円分多項式の微分 その2

「mod pにおける円分多項式の微分」の続きです。是非「mod pにおける円分多項式の微分」を先にお読み下さい pを素数、n≠1(mod p)(nは整数)とするとき f(t)(p,n) (mod p) を、tを固定してnを動かすと、どうやら表れる値に規則性があるらしいことに気付きまし…

mod pにおける円分多項式の微分

mod pで円分多項式をいじっていたら面白いことに気付いたので投稿します mod pとはpで割った余りのみを考えるということです 例えばmod 7で10と3は7で割った余りが同じなので、10=3 (mod 7)というように書くことができます 円分多項式についても書いておきま…