f(1)=1
f(1)×n+f(2)×(n-1)+……+f(n)×1=f(n+1)
という数列f(n)がフィボナッチ数列とリュカ数列の積で表せると予想しました。
まず具体的に計算してみます。
f(1)=1
f(2)=f(1)×1=1
f(3)=f(1)×2+f(2)×1=2+1=3
f(4)=f(1)×3+f(2)×2+f(3)×1=3+2+3=8
f(5)=f(1)×4+f(2)×3+f(3)×2+f(4)×1=4+3+6+8=21
となっていって、
1,1,3,8,21,55,144,377……
となります。
それぞれの項を自然数の積で表すと、
1=1×1
3=1×3
8=2×4
21=3×7
55=5×11
144=8×18
377=13×29
となり、確かにf(n)が小さい場合、×の前にはフィボナッチ数列が小さい順に、×の後にはリュカ数列が小さい順に現れています。
また、
g(n)=1
g(1)×(n-1)+g(2)×(n-2)+……+g(n-1)×1+g(n)×0=g(n+1)
という数列g(n)の小さい値を計算してみたところ
1,0,1,2,4,8,16,32,64
となるので、2のべき乗が現れるのかなぁと予想しています。
h(n)=1
h(1)×(n-2)+h(2)×(n-3)+……h(n-2)×1+h(n-1)×0+h(n-2)×(-1)=h(n+1)
という数列を調べてみたところ、小さい値が
1,-1,1,0,1,1,2,3,5,8
となったので、フィボナッチ数列になっているのかなぁと思いました。
初期値を少し変えるだけでこれだけ変わるので、もっと調べてみようと思います。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
