a,b,cをa^2＋b^2＝c^2となる整数とします s＝2(a＋kbーkc) （kは実数） とsを定義するとき (aーs)^2＋(bーks)^2＝(cーks)^2 となっていることに気付きました つまり絶対値がピタゴラス数の組a,b,cから、 絶対値がピタゴラス数の組(aーs),(bーks),(cーks)を作…

aを実数とする。 ( a -a)(-a a) という形で表せるすべての二次正方行列の集合は、通常の(行列の)加法と乗法に関して体になるらしいことに気付きました。 この体の乗法の単位元は、 ( 1/2 -1/2)(-1/2 1/2) です。 一般のn次正方行列でも同様のことが言えるよ…

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com では二次正方行列を考えましたが、これをn次正方行列に一般化できるらしいことに気付きました。 まず3次正方行列を見ていきます。 a,b,c,x,y,zを実数とし、a+b+c=1,x+y+z=1となっているとします。 (a b c)(c a b)(…

a,bを実数とする。 ( a 1-a)(1-a a) の形で書けるすべての二次正方行列の集合は、乗法に関して可換群になります。 また、この集合において、 ( a 1-a)(1-a a) と ( b 1-b)(1-b b) の和を、 ( a+b-1/2 -a-b+3/2)(-a-b+3/2 a+b-1/2) と定義すると、加法に関し…

まず分数の和を書きます。 a,cを0でない実数、b,dを実数とするとき、 b/a+d/c=(ad+bc)/ac となっています。 この演算と同じ結果が出るような行列を見つけました。 二次正方行列Xを (a b)(0 a) とし、 二次正方行列Yを (c d)(0 c) とするとき、 行列の積X×Y及…

a,b,cを既約ピタゴラス数、つまり、 a^2+b^2=c^2となるような既約な自然数とします。 また、aを奇数、bを偶数とします。 A^2+B^2=C^2となるような二次正方行列A,B,Cを、ピタゴラス二次行列と呼ぶことにします。 ピタゴラス二次行列を、ピタゴラス数から作れ…

通常でない和と積を定義して行列の体を作ることができるようなので投稿します。 まず、この記事で定義する和を巻和、積を巻積と呼ぶことにします。ネーミングに特に深い意味はないです。区別をしたほうが分かりやすいと思ったので名付けました。 これから二…

↓この記事の続きです。 mizumiya-umi.hatenablog.com ↑に貼った記事では、右！操作、左！操作というものを考えましたが、上！操作、下！操作というものもできることに気付きました。 要領は右！操作、左！操作のときと同じで、 (a b)(c d) という行列を、 (a…

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (a c)(b d) というように書くことにする。 a,b,dを自然数、cを0以上の整数、a≦b、c＜d、ad-bc=1とするとき、 a/bとc/dはいずれかのファレイ数列で隣…

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (x y)(z w) というように書くことにします。 pを素数とします。 mod pにおいて、 aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]の、一番長いループの長さと…

二次正方行列を (a b)(c d) というように書くことにします。三次以上の行列も同様に書くことにします。 (0 1)(1 1) や、 (0 0 1)(0 1 1)(1 2 1) や、 (0 0 0 1)(0 0 1 1)(0 1 2 1)(1 3 3 1)というような、パスカルの三角形のような数の並びをもつ正方行列と…

二次正方行列を (a b)(c d) という形で書くことにする mod 5において、 (0 0) (1 3) (3 4) (4 2) (2 1)(0 0) (4 2) (2 1) (1 3) (3 4) という5個の正方行列の集合は、 (0 0)(0 0)を加法の単位元、 (2 1)(3 4)を乗法の単位元とする体になることに気付きました…

(a b)(c d) という形で二次正方行列を表しているとします。(行列の出し方が分からないのでこうしてます。すみません) 行列式が1になるような(つまりad-bc=1となるような)、要素がすべて自然数の二次正方行列から、ある関係を持った分数を作れることに気付き…

a,b,c,dを自然数、a^2+b^2+c^2=d^2,Ω=a+b+c-dとするとき、 (Ω-a)^2+(Ω-b)^2+(Ω-c)^2=(Ω-d)^2となっていることに気付きました。 a^2+b^2+c^2=d^2というように、3つの平方数の和で表せる平方数の式を四平方と呼ぶことにすると、一つの四平方から新たな四平方が…

「二重ピタゴラス操作と行列」「二重ピタゴラス操作と行列 その２」の続きです。 ピタゴラス数(a,b,c)のaの子を(d1,e1,f1)とするとき、 d1+a=e1-b=f1-cが、 ピタゴラス数(a,b,c)のbの子を(d2,e2,f2)とするとき、 d2-a=e2+b=f2-cが、 ピタゴラス数(a,b,c)のc…

「二重ピタゴラス操作と行列」の続きです。 (a,b,c)をピタゴラス数(つまりa^2+b^2=c^2)とし、 (-a,b,c)に二重ピタゴラス操作を行うことで現れるピタゴラス数を(a,b,c)のaの子、 (a,-b,c)に二重ピタゴラス操作を行うことで現れるピタゴラス数を(a,b,c)のbの子…

「ピタゴラス数と倍数 その２」の続きです。 (a,b,c)というピタゴラス数の三つ組に対して、t=2(a+b-c)とすると、 (t-a,t-b,t-c)のそれぞれの絶対値をとったものはピタゴラス数の三つ組になるのでした。 この操作は二回ピタゴラス操作を行うことともとれるの…