明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形を縦に読んでできる九九

1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 パスカルの三角形の中央の数だけを取り出して段にした九九を、斜めに足すと4のべき乗が現れます。…

パスカルの三角形で九九

1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 任意のふたつの行で九九のような演算をすると、パスカルの三角形の他の行が現れることに気付きまし…

ピタゴラス数の平方と比

「ピタゴラス数の平方から現れる九九の表」で書いた表を元に考えます。 c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85) c-b=3^2 (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) c-b=5^2 (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (…

ピタゴラス数の平方から現れる九九の表

a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。 今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。 今回は(c-b)でピタゴラス数たちをカテゴリー分けしてみようと思います。すべての数が100より小さいピタゴラス数を並べようと思います。 c-b=…

パスカルの三角形の中央の数で九九の表を作る

パスカルの三角形の中央の数とは、 1 11 121 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 上の図の太字の部分のことです。 これらの数だけをとりだして、…

カタラン数と九九

カタラン数とは、数列として並べると 1,1,2,5,14,42,132,429,…… となるようなものです。詳細はwikiなどを見てください。 この数列で九九を作ると、 1 1 2 5 14 42 132 1 1 2 5 14 42 132 2 2 4 10 28 84 264 5 5 10 25 70 210 660 14 14 28 70 196 588 1848 …

パスカルの三角形のなかの数をグループ分け

「九九の表の数をグループ分け」のパスカルの三角形バージョンです mizumiya-umi.hatenablog.com ではグループ分けを見ていきます 1段のみの場合は、1が含まれるグループと何も含まれないグループができるので、差は1 2段までのとき 1 11 太字の数の和と…

九九の表の数をグループ分け

九九の表のなかの数を2つのグループに分け、それぞれのグループのなかで総和をとって、現れた2つの数の差をとっていくと規則性が現れることに気付きました。 言葉では分かりづらいので、表を書きます。 1の段のみの九九の表は、1が含まれるグループと何も含…

九九の表を二等分

九九をある模様の形にくり抜くと、その模様の中の数の和と模様の外の数の和が同じ、あるいは差が1だけにできることに気付きました。 では、九九の表を二等分する模様を紹介していきます。 3までの数の九九の表のとき 1 2 32 4 63 6 9 太字の数の和は1+2+2+4+…

九九の掛ける数をn次三角数に変えて+と-を交互に

「九九と2乗」の続きですが、2乗は出て来ません。 三角数の九九を考えてみます。n番目の三角数はn(n+1)/2です。 三角数の九九とは何かと言えば簡単で、掛ける数を自然数ではなく三角数にしただけです。 1 3 6 10 15 3 9 18 30 45 6 18 36 60 9010 30 60 100 …

九九と2乗

まず、九九の表を書きます。 1 2 3 4 5 6 7 8 92 4 6 8 10 12 14 16 183 6 9 12 15 18 21 24 274 8 12 16 20 24 28 32 365 10 15 20 25 30 35 40 456 12 18 24 30 36 42 48 547 14 21 28 35 42 49 56 638 16 24 32 40 48 56 64 729 18 27 36 45 54 63 72 81 …

n次三角数とm次k角数の九九の表から表れるn+m+1次k角数

「n角錐数に対応する九九の表」の拡張ができました mizumiya-umi.hatenablog.com 0次三角数を1と定義し、 1次三角数を自然数、つまり1次三角数のa番目をaと定義します 下の表は、0次三角数を上から小さい順(とは言ってもすべて1ですが)に並べ、2次四角数、…

n角錐数に対応する九九の表

「三角錐数に対応する数の敷き詰め」に書いた内容の、「高次三角数に対応する数の積」とは違う方向への拡張です mizumiya-umi.hatenablog.com 「三角錐数に対応する数の敷き詰め」に書いた内容は、九九と三角錐数が対応している、とも言えます 九九の表は 1 …

高次三角数に対応する数の積

「三角錐数に対応する数の敷き詰め」の拡張を書きます mizumiya-umi.hatenablog.com タイトルの高次三角数というのは僕の造語です 三角錐数を3次三角数と名付けることにし、 n次三角数を小さい順に足したものをn+1次三角数と呼ぶことにします 4次三角数は…

三角錐数に対応する数の敷き詰め

三角錐数とは、三角数を小さい順に足したもののことです。 三角数とは、自然数を小さい順に足したもののことです。 自然数を小さい順に並べると 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…… となり、 三角数を小さい順に並べると 1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…… となり、 三角…