前回の記事の続きです。
この記事では、パスカルの三角形の1行目の母関数をn次多項式に一般化したものを考えます。
n次多項式F(x)の、m次の係数を{m}と置きます。
F(x)＝{0}＋{1}x＋{2}x^2＋……＋{n}x^n
k行目の母関数がF(x)^kになるような図Aを考えます。
図A
0行目 1
1行目 {0}, {1}, {2}, ……, {n}
2行目 {0}^2, 2{0}{1}, 2{0}{2}＋{1}^2, ……, {n}^2
3行目 {0}^3, 3{0}^2 {1}, 3{0}^2 {2}＋3{0}{1}^2, ……, {n}^3
……
{0}＝{1}＝1,それ以外のF(x)の係数を0にすれば、パスカルの三角形になるので、
パスカルの三角形の一般化と思えます。
左からs+1番目をs列目と呼ぶことにし、
r行s列目の数を[r,s]と書くことにします。
図Aのt行u列目の数[t,u]を t-bu行u列目 へ移動させた図を図Bとし、
図Bのv行目の母関数を〈v〉とするとき、
〈v〉×C(x)^a＝〈v+a〉
となるような関数C(x)
つまり、
図Bの任意の行の母関数にa乗を掛けると、a行下の母関数になるようなC(x)は
C(x)＝{0}＋{1}(xC(x)^b)＋{2}(xC(x)^b)^2＋……＋{n}(xC(x)^b)^n
を満たすことに気付きました。
F(x)のxをxC(x)^bに置き換えたものがC(x)に等しくなるので、
C(x)＝F(xC(x)^b)
とも書けます。
証明します。
図Aにおいては、
r-1行目の母関数にF(x)を掛けるとr行目の母関数になるので
[r,s]＝{0}[r-1,s]＋{1}[r-1,s-1]＋{2}[r-1,s-2]＋……＋{n}[r-1,s-n]
となります。
見やすいようにr＝0,s＝0で考えると
[0,0]＝{0}[-1,0]＋{1}[-1,-1]＋{2}[-1,-2]＋……＋{n}[-1,-n]
です。
図Bにおいては、図Aの[t,u]を t-bu行u列目へ移動したものなので
[r,s]＝{0}[r-1,s]＋{1}[r-1+b,s-1]＋{2}[r-1+2b,s-2]＋……＋{n}[r-1+nb,s-n]
だと分かります。（ここでの[r,s]は、図Bでのr行s列目の数）
r＝0,s＝0で考えると
[0,0]＝{0}[-1,0]＋{1}[-1+b,-1]＋{2}[-1+2b,-2]＋……＋{n}[-1+nb,-n]
です。
図Bのk行目の母関数〈k〉が
〈k〉＝[k,0] ＋[k,1]x ＋[k,2]x^2＋[k,3]x^3＋……
であることを踏まえると、
〈k〉＝{0}〈k-1〉＋{1}〈k-1+b〉x＋{2}〈k-1+2b〉x^2＋…＋{n}〈k-1+nb〉x^n・・・①
だと分かります。
〈v〉×C(x)^a＝〈v+a〉
となるような関数C(x)があるとするとき
①の左辺＝〈k〉＝〈k-1〉C(x)
①の右辺＝{0}〈k-1〉＋{1}〈k-1〉(xC(x)^b)＋{2}〈k-1〉(xC(x)^b)^2＋…＋{n}〈k-1〉(xC(x)^b)^n
なので、両辺を〈k-1〉で割ると
C(x)＝{0}＋{1}(xC(x)^b)＋{2}(xC(x)^b)^2＋……＋{n}(xC(x)^b)^n
となり、証明できました。
C(x)＝F(xC(x)^b) となっているのが、シンプルで良いなと思います。
F(x)＝2＋x など、具体例を計算しても楽しいので、おすすめです。
お読みいただきありがとうございました。
