明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

縦読み

(x+1)^0,(x+1)^1,(x+1)^2,(x+1)^3,………を並べると、 1 x +1 x^2 +2x +1 x^3 +3x^2 +3x +1 x^4 +4x^3 +6x^2 +4x +1 ……… となります。 この図の一番左の項たちを縦に読むと、 1+x+x^2+x^3+x^4+…… となり、左から二番目の項たちを同様に読むと、 1+2x+3x^2+4x^3+…

整数三角形の親子関係・友達関係をちょっと拡張

mizumiya-umi.hatenablog.com で書いたように、 整数a,b,cがa^2+ab+b^2=c^2 を満たし、sを s=3/2×(a+b)-c と定義すると、 (a-s)^2+(a-s)(b-s)+(b-s)^2=(c-s)^2 と a^2+a(-a-b)+(-a-b)^2=c^2 が成り立つのでした。 これを一般化して、 nを整数とするとき、a^2…

n次式と数列上の積

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com の続きです。 前回同様、#という記号を #={1,1,1,1,……} という数列だと定義することにします。 関数f(x)に対して、数列[f(x)]を [f(x)]={f(0),f(1),f(2),f(3),……} と定義します。 f(x)がn次式のとき、[f(x)]をどの…

数列の環とn乗数

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com の続きです。 無限に続く数列の積を見ていきましょう。 {1,1,1,1,……}と、1が延々と続いていく数列を、#という記号で表すことにします。 #={1,1,1,1,……} としたということです。 #^2、つまり#と#の積は、 {1,2,3,4,…

数列の環

この記事では、項数が有限の数列を、そのあとに0という数の入った項が無限に続く数列と見なして扱うことにします。 nを自然数、a[n],b[n]を整数とします。 さて、 {a[1],a[2],a[3],a[4],……}という無限に続く数列と、 {b[1],b[2],b[3],b[4],……}という無限に続…

和が0の行列の体

aを実数とする。 ( a -a)(-a a) という形で表せるすべての二次正方行列の集合は、通常の(行列の)加法と乗法に関して体になるらしいことに気付きました。 この体の乗法の単位元は、 ( 1/2 -1/2)(-1/2 1/2) です。 一般のn次正方行列でも同様のことが言えるよ…

和が1の行列の体 その2

前回の記事、 mizumiya-umi.hatenablog.com では二次正方行列を考えましたが、これをn次正方行列に一般化できるらしいことに気付きました。 まず3次正方行列を見ていきます。 a,b,c,x,y,zを実数とし、a+b+c=1,x+y+z=1となっているとします。 (a b c)(c a b)(…

和が1の行列の体

a,bを実数とする。 ( a 1-a)(1-a a) の形で書けるすべての二次正方行列の集合は、乗法に関して可換群になります。 また、この集合において、 ( a 1-a)(1-a a) と ( b 1-b)(1-b b) の和を、 ( a+b-1/2 -a-b+3/2)(-a-b+3/2 a+b-1/2) と定義すると、加法に関し…

ある形の一般フィボナッチ数列の和で自然数を一意的に表す

aを自然数とする。 f(0)=1,f(1)=1,f(x)+a×f(x+1)=f(x+2) とf(x)を定義し、 g[x]を0,1,2,……,aのうちのいずれかの数になっているとする。 すべての自然数は、 g[1]×f(1)+g[2]×f(2)+…+g[n]×f(n) (nは自然数) の形で表せるだろうと予想しました。 さらに、g[k]=a…

二重ピタゴラス操作の拡張

a,b,cを整数、nを自然数の定数とする。 a^2+n×b^2=c^2 となっているとするとき、 s=2(a+nb-c)/n とすると、 (s-a)^2+n×(s-b)^2=(s-c)^2 となっているだろうと予想しました。 つまり、平方と平方のn倍の和が平方になっているような3つの数の組があるとき、こ…

二重ピタゴラス操作の活用

a,b,cを整数とし、 a^2+b^2=c^2 となっているとき、 s=2(a+b-c) とすると、 (s-a)^2+(s-b)^2=(s-c)^2 となっていて、このような操作を二重ピタゴラス操作と呼ぶことにしたのでした。 さて、x,y,zを整数、nを任意の整数の定数とするとき、 x^2+y^2+n=z^2 つま…

二重ピタゴラス操作の一般化

a[1],a[2],……,a[n]というn個の0以上の整数の和が、bという自然数の平方になるとします。 つまり、 a[1]^2+a[2]^2+……+a[n]^2=b^2 となっているということです。 このようなa[1],……,a[n],bの組を、一つの組から新たに見つけることのできるような計算をおそらく…

分数の和と同一視できるような行列の積

まず分数の和を書きます。 a,cを0でない実数、b,dを実数とするとき、 b/a+d/c=(ad+bc)/ac となっています。 この演算と同じ結果が出るような行列を見つけました。 二次正方行列Xを (a b)(0 a) とし、 二次正方行列Yを (c d)(0 c) とするとき、 行列の積X×Y及…

ピタゴラス数のような行列

a,b,cを既約ピタゴラス数、つまり、 a^2+b^2=c^2となるような既約な自然数とします。 また、aを奇数、bを偶数とします。 A^2+B^2=C^2となるような二次正方行列A,B,Cを、ピタゴラス二次行列と呼ぶことにします。 ピタゴラス二次行列を、ピタゴラス数から作れ…

ピタゴラス数から2通りのやり方で同じ二平方和を作る

mizumiya-umi.hatenablog.com ↑に貼った記事に書いた計算法で、 自然数a[1],b[1],c[1],a[2],b[2],c[2]が a[1]^2+b[1]^2=c[1]^2 a[2]^2+b[2]^2=c[2]^2 を満たすピタゴラス数とするとき、平方数が現れるのでした。 a[1],a[2]を奇数、b[1],b[2]を偶数とし、既約…

mod pのパスカルの三角形で、全ての整数が一度ずつ現れる行のあるもの

pを奇素数とし、 nを2n+1=pとなるような自然数とする。 mod pにおいて、nと(n+1)をふたつ隣りに並べたものを頂点とするようなパスカルの三角形を計算していくと、全ての整数が一度ずつ現れる行が出てくるらしいことに気付きました。証明はできていないので、…

新しい和と積でできる行列の体

通常でない和と積を定義して行列の体を作ることができるようなので投稿します。 まず、この記事で定義する和を巻和、積を巻積と呼ぶことにします。ネーミングに特に深い意味はないです。区別をしたほうが分かりやすいと思ったので名付けました。 これから二…

行列式を変えない操作

↓この記事の続きです。 mizumiya-umi.hatenablog.com ↑に貼った記事では、右!操作、左!操作というものを考えましたが、上!操作、下!操作というものもできることに気付きました。 要領は右!操作、左!操作のときと同じで、 (a b)(c d) という行列を、 (a…

ファレイ数列の行列の性質

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (a c)(b d) というように書くことにする。 a,b,dを自然数、cを0以上の整数、a≦b、c<d、ad-bc=1とするとき、 a/bとc/dはいずれかのファレイ数列で隣…

mod pにおける行列の体と無理数による体をフィボナッチでつなげる

↓この記事を読んでからのほうが分かりやすいかもしれません。 mizumiya-umi.hatenablog.com 二次正方行列を (x y)(z w) というように書くことにします。 pを素数とします。 mod pにおいて、 aF[n]+bF[n+1]=F[n+2]となっているF[n]の、一番長いループの長さと…

パスカルの三角形の行列とフィボナッチ

二次正方行列を (a b)(c d) というように書くことにします。三次以上の行列も同様に書くことにします。 (0 1)(1 1) や、 (0 0 1)(0 1 1)(1 2 1) や、 (0 0 0 1)(0 0 1 1)(0 1 2 1)(1 3 3 1)というような、パスカルの三角形のような数の並びをもつ正方行列と…

mod pにおける行列の体

二次正方行列を (a b)(c d) という形で書くことにする mod 5において、 (0 0) (1 3) (3 4) (4 2) (2 1)(0 0) (4 2) (2 1) (1 3) (3 4) という5個の正方行列の集合は、 (0 0)(0 0)を加法の単位元、 (2 1)(3 4)を乗法の単位元とする体になることに気付きました…

フィボナッチと分数

nを自然数とする。 数列F[n]を、 F[0]=0,F[1]=1,F[n-1]+F[n]=F[n+1] と定義する。つまりF[n]はフィボナッチ数列です。 互いに素な自然数a,bを、 F[n-1]/F[n]+F[n]/F[n+1]=a/b と定義するとき、 a+b=F[2n+1] a-b=(F[n-1])^2 となっていると予想しました。 例…

フィボナッチ積と分配法則

a,b,cを自然数とする。 aとbのフィボナッチ積をa〇bと書くことにする。 (a〇(b+c))と(a〇b+a〇c)の差は、0かaかのどちらかに必ずなるのではないかと思いました。 普通の加法とフィボナッチ積の間に、分配法則のようなものが成り立っているのではないかと思っ…

フィボナッチ積の性質

九九の表のように、フィボナッチ積の表を七の段まで書いて眺めていたら思いついたことがあるので書きます。 nを自然数とする n番目のフィボナッチ数をF[n](ただし1=F[2]とする)とする また、aとbのフィボナッチ積をa〇bと書くことにする。 kを自然数とすると…

トリボナッチ積

フィボナッチ積という概念のトリボナッチ数列版を考えてみました。 mizumiya-umi.hatenablog.com で書いたように、トリボナッチ数列から3つ以上連続しないように項を選び、和をとることで、すべての自然数を一意的に表せるだろうと予想しました。 この予想を…

ピタゴラス数の組の集合上の二項演算

a,b,c,d,e,fを a^2+b^2=c^2 d^2+e^2=f^2 となっているような自然数、つまりピタゴラス数とします。 更に、a,dを奇数、b,eを偶数、c,fを奇数として話を進めます。 実は、 n^2+( (a+d) /2)^2+( (b+e) /2)^2=( (c+f) /2)^2、 (ad+n^2)+(be+n^2)=(cf-n^2)+n^2 と…

フィボナッチ数列とmod pでのループの長さが一致する数列

pを素数とし、 m乗するとxになる数を(m)√(x)という表記で書くことにし、 kを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 g(0)=0 g(1)=1 (k)√(g(n)^k+g(n+1)^k)=g(n+2) で定義される数列g(n)と、 フィボナッチ数列のmod pでのループの長さが一致すると予想しまし…

mod pのもうひとつの体

pを素数とします。 m乗するとxになる数を、(m)√(x)という表記で書くことにします。 nを(p-1)と互いに素な整数の定数とします。 演算◇を、a◇b=(n)√(a^n+b^n)と定義するとき、 mod pにおける{0,1,2,……,p-1}という集合は、演算◇に関して位数pの巡回群になります…

mod pにおける一般フィボナッチ数列と2次方程式の解のループの長さと位数の一致

pを素数とし、a,bをmod pで0でない整数とする。 以下の等式はすべてmod pで考える。 nを整数とする。 af(n)+bf(n+1)=f(n+2),f(0)=0,f(1)=1で定義される一般フィボナッチ数列f(n)の、nを0より大きくしていき、最初にf(n)=0,f(n+1)=1となるようなnをf(n)のルー…