まず１組のみのピタゴラス数で考えます。
a,b,cをピタゴラス数とすると、a^2+b^2=c^2から、
c^2+2ab=(a+b)^2
c^2-2ab=(a-b)^2が導けます。
同様にして、２組目のピタゴラス数をd,e,fとするとき
cf+ae+bd,cf-ae-bdが平方数になることが導けます。
cf+ae+bdの証明だけ書いておきます。
(a,b,c),(d,e,f)はピタゴラス数なので、m,n,x,yを自然数とするとき
(a,b,c)=(m^2-n^2,2mn,m^2+n^2),(d,e,f)=(x^2-y^2,2xy,x^2+y^2)
とおけるので、
cf+ae+bd=(m^2+n^2)(x^2+y^2)+(m^2-n^2)(2xy)+(2mn)(x^2-y^2)
と書けます。
これを整理すると
(mx+my+nx-ny)^2
となり、平方数であることが分かりました。
cf-ae-bdが平方数になることも同様にして導けます。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
