a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。
今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。
本題に入ります。
c+b,c-b,(c+a)/2,(c-a)/2はすべて必ず平方数になります。
証明は簡単で、
m,nを自然数とするとき、
a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2
と表せることから、
c+b=(m+n)^2
c-b=(m-n)^2
(c+a)/2=m^2
(c-a)/2=n^2
であることが分かり、それぞれ平方数になることが分かります。
さらに、このことから、√(c-b)に√((c-a)/2)を足すと√((c+a)/2)に、√((c+a)/2)に√((c-a)/2)を足すと√(c+b)になることが分かります。
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