a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cの組をピタゴラス数と言います。
今回の記事において、aを奇数、bを偶数とします。
前回書いたように、b+cは平方数になります。
b+cの値でピタゴラス数たちをカテゴリー分けしてみようと思います。とりあえずb+c=13^2まで。
a,b,cというピタゴラス数の組を(a,b,c)という順番で書きます。
b+c=3^2 (3,4,5)
b+c=5^2 (5,12,13) (15,8,17)
b+c=7^2 (7,24,25) (21,20,29) (35,12,37)
b+c=9^2 (9,40,41) (45,28,53) (63,16,65)
b+c=11^2 (11,60,61) (33,56,65) (55,48,73) (77,36,85) (99,20,101)
b+c=13^2 (13,84,85) (39,80,89) (65,72,97) (91,60,109) (117,44,125) (143,24,145)
それぞれのピタゴラス数のaだけ取り出すと、
b+c=3^2 (3)
b+c=5^2 (5) (15)
b+c=7^2 (7) (21) (35)
b+c=9^2 (9) (45) (63)
b+c=11^2 (11) (33) (55) (77) (99)
b+c=13^2 (13) (39) (65) (91) (117) (143)
と、b+c未満の√(b+c)の奇数倍が現れました(b+c=9^2の場所に、27がありませんが)
このことは簡単に説明できます。
前回言ったように、
m,nを自然数とするとき、
a=m^2-n^2
b=2mn
c=m^2+n^2
と表せます。
b+c=(m+n)^2なので、√(b+c)=m+nです
a=(m-n)(m+n)から、aが√(b+c)の倍数になることは直ぐに分かります。
m,nは任意の数で自由に数を取れるので、aの最大の値はn=1のときで√(b+c)の(√(b+c)-2)倍、aの最小の値はn=m-1のときで√(b+c)の1倍であることが分かります。
また、(m-n)と(m+n)は互いに素なので、a/√(b+c)が√(b+c)と互いに素になることが分かります。
では次に、それぞれのピタゴラス数のc-bを計算していくと、
b+c=3^2 (1)
b+c=5^2 (1) (9)
b+c=7^2 (1) (9) (25)
b+c=9^2 (1) (25) (49)
b+c=11^2 (1) (9) (25) (49) (81)
b+c=13^2 (1) (9) (25) (49) (81) (121)
と、規則性が現れました
(c+a)/2,(c-a)/2を取り出していっても、同様の規則性が現れます。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
