明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

パスカルの三角形にフィボナッチ数列を掛けて足し引き

パスカルの三角形とは

11
121
13 3 1
1 4 6 4 1
1 5  10   10  5 1
1   6  15  20  15  6  1
1  7  21  35  35  21  7  1
1  8  28  56  70  56  28  8  1
1  9  36  84  126 126  84  36  9  1

 
このようなものです

 

それぞれの行において、左からn番目の数に、n番目のフィボナッチ数列を掛け、交互に足し引きするとフィボナッチ数列が現れることに気付きました。

 

実際に計算すると、

一行目:1×1=1

二行目:1×1-1×1=0

三行目:1×1-2×1+1×2=1

四行目:1×1-3×1+3×2-1×3=1

五行目:1×1-4×1+6×2-4×3+1×5=2

六行目:1×1-5×1+10×2-10×3+5×5-1×8=3

七行目:1×1-6×1+15×2-20×3+15×5-6×8+1×13=5

と、確かにフィボナッチ数列が表れました。

 

 

拡張できないかなと思い、3-パスカルの三角形(上の行の三つの数を足して下の行の数を作ってできる三角形)にフィボナッチ数列を掛けて足し引きしてみたところ、2のべき乗が表れました。

 

 1   1
1   2   3   2   1
1  3   6   7   6   3  1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1

 

一行目:1×1=1

二行目:1×1-1×1+1×2=2

三行目:1×1-2×1+3×2-2×3+1×5=4

四行目:1×1-3×1+6×2-7×3+6×5-3×8+1×13=8

五行目:1×1-4×1+10×2-16×3+19×5-16×8+10×13-4×21+1×34=16

 

 

以上です お読みいただきありがとうございました!