ピタゴラス数の三つ組a,b,cに対してah+bi=cjを満たす自然数h,i,jを考えていきます。
例えばa=3,b=4,c=5のとき、3×2+4×1=5×2なので、h=2,i=1,j=2はh,i,jのひとつの解です。
「ピタゴラス数の平方と和・差」で書いた
c-b=1^2 (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (9,40,41) (11,60,61) (13,84,85)
c-b=3^2 (15,8,17) (21,20,29) (27,36,45) (33,56,65) (39,80,89) (45,108,117)
c-b=5^2 (35,12,37) (45,28,53) (55,48,73) (65,72,97) (75,100,125) (85,132,157)
c-b=7^2 (63,16,65)(77,36,85)(91,60,109)(105,88,137)(119,120,169)(133,156,205)
という表の、それぞれの場所にそれぞれのピタゴラス数の結果を書いていこうと思います。
また、h,i,jを、(h,i,j)という形で書いていこうと思います。
まず、h=jとなるようなものを考えると
(2,1,2)(3,2,3)(4,3,4) (5,4,5) (6,5,6) (7,6,7)
(4,1,4)(5,2,5)(6,3,6) (7,4,7) (8,5,8) (9,6,9)
(6,1,6)(7,2,7)(8,3,8) (9,4,9) (10,5,10)(11,6,11)
(8,1,8)(9,2,9)(10,3,10)(11,4,11)(12,5,12)(13,6,13)
と、規則性が現れました。
i=jとなるようにしても
(1,3,3)(1,5,5) (1,7,7) (1,9,9) (1,11,11)(1,13,13)
(3,5,5)(3,7,7) (3,9,9) (3,11,11)(3,13,13)(3,15,15)
(5,7,7)(5,9,9) (5,11,11)(5,13,13)(5,15,15)(5,17,17)
(7,9,9)(7,11,11)(7,13,13)(7,15,15)(7,17,17)(7,19,19)
と、規則性が現れます。
では、h=i+1となるようなものを見てみましょう。
(3,4,5) (10,11,14)(21,22,27)(36,37,44) (55,56,65) (78,79,90)
(10,11,14) (8,9,12) (3,4,5) (41,42,57) (27,28,37) (10,11,14)
(21,22,27) (41,42,57) (13,14,19) (37,38,53)(3,4,5) (92,93,128)
(36,37,44) (23,24,31) (92,93,128)(18,19,26)(119,120,169)(86,87,122)
となり、一行n列目とn行一列目の値が一致しました。
長くなったので今回はここまでにしますが、h,i,jの値の差を固定したときなどに面白い規則が現れたらその２を投稿すると思います。
お読みいただきありがとうございました！
