a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,cをピタゴラス数と言います。
これからa,b,cを３つ組のピタゴラス数と呼ぶことにします。
たとえば3^2+4^2=5^2なので、3,4,5は３つ組のピタゴラス数です。
自然数a,b,cがa^2+b^2=c^2を満たすとし、a<b<c、c-b=x、c-a=yとするとき
(a^2-x^2,b^2-x^2)
(a^2-y^2,b^2-y^2)
(a^2+x^2,c^2+x^2)
(b^2+y^2,c^2+y^2)
というそれぞれの２つ組の数は、３つ組のピタゴラス数のなかの2つになっている。と予想しました。
ただし、値が負になったときは絶対値をとることにし、２つ組が互いに素でないときは互いに素になるまで公約数で割ることにします
例をあげると、(5,12,13)というピタゴラス数で考えると、
a=5,b=12,c=13,x=1,y=8より、
a^2-x^2=24, b^2-x^2=143なので(24,143)
a^2-y^2=-39,b^2-y^2=80なので絶対値をとって(39,80)
a^2+x^2=26, c^2+x^2=170なので2で割って(13,85)
b^2+y^2=208,c^2+y^2=233なので(208,233)
という４つの２つ組の数が表れ、それぞれ実際に
(24,143)は(24,143,145)
(39,80)は(39,80,89)
(13,85)は(13,84,85)
(208,233)は(105,208,233)
という３つ組のピタゴラス数のうちの２つになっています。
証明できていないので、証明できる方いたら教えていただけるとありがたいです。
