タイトルの通りです。
自然数a,b,cを、ピタゴラス数、つまりa^2+b^2=c^2とするとき、
(a+c)^2+(b+c)^2=(a+b+c)^2+(a-b)^2
(a-c)^2+(b-c)^2=(a+b-c)^2+(a-b)^2
(a-c)^2+(b+c)^2=(a-b-c)^2+(a+b)^2
(a+c)^2+(b-c)^2=(a-b+c)^2+(a+b)^2
が成り立ちます。
証明は簡単で、a^2+b^2=c^2であることに注意して展開すれば等式であることが分かります。
ちなみに、二平方和ではありませんが、
(a+b)^2+(a+c)^2+(b+c)^2=(a+b+c)^2+2c^2
(a+b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=(a+b-c)^2+2c^2
(a-b)^2+(a-c)^2+(b+c)^2=(a-b-c)^2+2c^2
(a-b)+(a+c)^2+(b-c)^2=(a-b+c)^2+2c^2
も成り立ちます。3つの平方数の和と、平方数と平方数の倍の和が等しくなっているような等式ですね。
証明は同様です。
また、いずれの式もa,b,cに負の符号をつけても成立します。
良ければ、お好きなピタゴラス数を代入して遊んでみてください。
以上です！お読みいただきありがとうございました！
