2組のピタゴラス数に演算を入れることで、3次ピタゴラス数や1つの数の2通りの2つの平方数の和の表し方が現れることに気付いたので投稿します。
まず例として、(3,4,5),(5,12,13)という2つのピタゴラス数で考えます。
2つのピタゴラス数の和をとると、
(3+5,4+12,5+13)=(8,16,18)
となり、2で割ると
(4,8,9)という3つ組が現れます。
これにひとつ数を加えると三次ピタゴラス数が現れます。
1^2+4^2+8^2=9^2という三次ピタゴラス数です。
一般に2つのピタゴラス数の和をとると、三次ピタゴラス数を構成する3つの数が表れるだろう、と予想しています。
次は、2つのピタゴラス数の積をとってみましょう。
(3×5,4×12,5×13)=(15,48,65)
となり、これのa,bに1を足し、cから1を引くと
(16,49,64)
となり、平方根をとると、(4,7,8)という3つ組が現れます。
これは実は、
65=4^2+7^2=8^2+1^2
というように、65という数を2つの平方数で書く2つの表し方のなかに登場する数になっています。
一般に2つのピタゴラス数の積をとって現れる3つ組は、1つの数の2通りの2つの平方数の和の表し方に現れる数になっているだろうと予想しています。
またこのことが真なら、任意のピタゴラス数を(a1,b1,c1),(a2,b2,c2)とするとき、a1a2+b1b2とc1c2の差が平方数の2倍になることが分かります。
証明、頑張ったらできそうなので、また考えてできたら投稿します。
お読みいただきありがとうございました！
