「パスカルの三角形的なものの足し引き その２」の拡張です。
パスカルの三角形とは
１
１１
１２１
１３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
このようなものです。
aを自然数とします。
3行目以降において、一番左の数をa倍、左から二番目の数を(a+1)倍、左から三番目の数を(a+2)倍、……としていき、＋と－を交互につけて足し合わせると、必ず0になることに気付きました。
例として、a=2とし、4行目で考えると、
1×2-3×3+3×4-1×5
=2-9+12-5
=0
と確かに0になっています。
これを更に三角数、三角錐数、さらにその上のクラスの三角数にまで拡張できることにも気付きました。
三角数とは、自然数を小さい順に足していってできる数のことです。
つまり1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+5,……を計算して現れる、
1,3,6,10,15,……が三角数です。
三角錐数は三角数を小さい順に足していってできる数のことです。
上のクラスの三角数とは、三角錐数を小さい順に足していってできる数、それを小さい順に足していってできる数、などのことを指して言いました。
まず、三角数で考えると、
4行目以降において、一番左の数をa番目の三角数倍、左から二番目の数を(a+1)番目の三角数倍、左から三番目の数を(a+2)番目の三角数倍、……としていき、＋と－を交互につけて足し合わせると、必ず0になります。
例としてa=1とし,5行目で考えると、
1×1-4×3+6×6-4×10+1×15
=1-12+36-40+15
=0
と、0になりました。
三角錐数などでも同様のことを予想しました。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
