タイトルの「三角数と平方数をつなぐ計算」とは、+と-を交互につけて足し合わせる計算のことです。差分と呼ぶのかな?とりあえず呼びやすいのでこれから差分と呼ぶことにします。使い方間違ってたらすみません。
ではさっそく三角数の差分をとっていきましょう。
1=1
3-1=2
6-3+1=4
10-6+3-1=6
15-10+6-3+1=9
……
となり、どうやら2n-1番目の計算ではn^2が、2n番目の計算ではn(n+1)が現れるようです。
この、1,2,4,6,9,12,16,20,25,……という数列の差分をとると、
1=1
2-1=1
4-2+1=3
6-4+2-1=3
9-6+4-2+1=6
12-9+6-4+2-1=6
16-12+9-6+4-2+1=10
……
と、三角数がひとつにつき二回ずつ表れました。
三角数の差分から現れた数列の差分から三角数が現れるのが、面白いなぁと思いました。
証明一応書いておきます。
n番目の三角数はn(n+1)/2と表せるので、
2m番目までの三角数の差分は、
( (2m+1)(2m)/2-(2m)(2m-1)/2)+( (2m-1)(2m-2)/2-(2m-2)(2m-3)/2)+……+(3×2/2-2×1/2)
=2m+(2m-2)+(2m-4)+……+4+2
=2(m+(m-1)+(m-2)+……+ 2+ 1)
=m(m+1)
2m-1番目までの三角数の差分は、
( (2m)(2m-1)/2-(2m-1)(2m-2)/2)+( (2m-2)(2m-3)/2-(2m-3)(2m-4)/2)+……+(4×3/2-3×2/2)+2×1/2
=(2m-1)+(2m-3)+(2m-5)+……+3+1
=m^2
となり、三角数の差分が1,2,4,6,9,12,16,20,25,……になることについては証明できました。
1,2,4,6,9,12,16,20,25,……という数列の差分に三角数が現れることは、
2m番目までのこの数列の差分が
( (m+1)(m)-m^2)+( (m)(m-1)-(m-1)^2)+( (m-1)(m-2)-(m-2)^2)+……+(2-1)
=m+(m-1)+(m-2)+……+2+1
=m(m+1)/2
となることと、
2m-1番目までのこの数列の差分が
(m^2-m(m-1))+( (m-1)^2-(m-1)(m-2))+……+(4-2)+1
=m+(m-1)+(m-2)+……+2+1
=m(m+1)/2
となることから証明できます。
以上です。お読みいただきありがとうございました!