まずパスカルの三角形を書きます。
１
１１
１２１
１３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
これを、頂点が入るように菱形状にくり抜き、和をとって1を足すと行の真ん中の数が現れることに気付きました。
１
１１
１２１
１３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
(1+1+1+2)+1=6
１
１１
１２１
１３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
(1+1+1+1+2+1+3+3+6)+1=20
１
１１
１２１
１３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
(1+1+1+1+2+1+1+3+3+1+4+6+4+10+10+20)+1=70
上の3つの数を足して下の数を作るパスカルの三角形でも同様のことが言えます。ただし、1を足す必要がなくなります。
１
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
1+1+1+1+3=7
１
1 1 1
1 2 3 2 1
1 3 6 7 6 3 1
1 4 10 16 19 16 10 4 1
1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1
1+1+1+1+1+2+3+2+1+6+7+6+19=51
A
B C
D
と数が並んでいたとき、A+B+C=Dと計算するようなパスカルの三角形の場合は、頂点が入るように菱形にくり抜いて、和をとったあと、その和を二倍して1を足すと行の真ん中の数が現れるようです。
