明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

九九と2乗

まず、九九の表を書きます。


1   2   3   4   5   6   7   8   9
2   4   6   8 10 12 14 16 18
3   6   9 12 15 18 21 24 27
4   8 12 16 20 24 28 32 36
5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 18 27 36 45 54 63 72 81

 

 「n角錐数に対応する九九の表」という投稿のときのように、表の上を左下から右上へ45度の角度で通る直線を考えます。

ただし、「n角錐数に対応する九九の表」のときとは違い、通った数の和を単純に求めるのではなく、+記号と-記号を交互につけて足し合わせます。

 

実際に計算してみると、

1=1

2-2=0

3-4+3=2

4-6+6-4=0

5-8+9-8+5=3

6-10+12-12+10-6=0

7-12+15-16+15-12+7=4

8-14+18-20+20-18+14-8=0

9-16+21-24+25-24+21-16+9=5

となります。

偶数番目は0に、奇数番目は自然数が小さい順に現れているのが分かります。

 

実は、それぞれの数を2乗しても、同じ値が現れます。

1^2=1

2^2-2^2=0

3^2-4^2+3^2=2

4^2-6^2+6^2-4^2=0

5^2-8^2+9^2-8^2+5^2=3

6^2-10^2+12^2-12^2+10^2-6^2=0

7^2-12^2+15^2-16^2+15^2-12^2+7^2=4

8^2-14^2+18^2-20^2+20^2-18^2+14^2-8^2=0

9^2-16^2+21^2-24^2+25^2-24^2+21^2-16^2+9^2=5

 

不思議な結果だなぁと思います。

これから拡張を考えたいと思います。