一般フィボナッチ数列af(n)+bf(n+1)=f(n+2)を、「フィボナッチ数列のなかから現れるリュカ数列」という投稿のときのように、kつごとに行を変えていく表にし、縦に見たときの規則性を探りたいと思います。
一つごとに行を変えて表にした場合は当然
af(n)+bf(n+1)=f(n+2)
です
二つごとの場合は
-a^2f(n)+(2a+b^2)f(n+1)=f(n+2)
となり、
三つごとの場合は
a^3f(n)+(3ab+b^3)f(n+1)=f(n+2)
となり、
四つごとの場合は、
-a^4f(n)+(2a^2+4ab^2+b^4)f(n+1)=f(n+2)
となるようです
kつごとに行を変えて行を変えたときを
j(k)f(n)+h(k)f(n+1)=f(n+2)
と書くことにすると
j(k)=-(-a)^k
h(0)=2,h(1)=b,ah(k)+bh(k+1)=h(k+2)
となっているようです。h(k)を一般リュカ数列と呼ぶことにします。
余談ですが、一般リュカ数列h(k)を負の番号まで拡張すると
h(3)=3ab+b^3
h(2)=2a+b^2
h(1)=b
h(0)=2
h(-1)=-b/a
h(-2)=(2a+b^2)/a^2
h(-3)=-(3ab+b^3)/a^3
と、符号を気にせず分子だけをみるとh(0)を原点として対称になっています。
また、面白いことに
h(k)/g(k)=-h(-k)
となっています
ではj(k)f(n)+h(k)f(n+1)=f(n+2)の特性方程式とその判別式を見ていきましょう。
k=1のとき
x^2-bx-a=0→D=1^2×(b^2+4a)
k=2のとき
x^2-(2a+b^2)x+a^2=0→D=b^2×(b^2+4a)
k=3のとき
x^2-(3ab+b^3)x-a^3=0→D=(b^2+a)^2×(b^2+4a)
k=4のとき
x^2-(2a^2+4ab^2+b^4)x+a^4=0→D=(b^3+2ab)^2×(b^2+4a)
となり、判別式から平方数を取り除くと(b^2+4a)が現れました。
また、j(k)f(n)+h(k)f(n+1)=f(n+2)のときの判別式をD=u(k)^2×(b^2+4a)とおくと
u(0)=0,u(1)=1,au(k)+bu(k+1)=u(k+2)
となっていそうです。
u(k)を負の番号まで拡張すると、一般リュカ数列と同じく、符号を気にせず分子だけを見るとu(0)を原点として線対称になっているようです。
自然に一般化できたので満足です。証明がほとんどできていないのはすみません。
お読み頂きありがとうございました！
