aを2以上の自然数とします。
1/a+1/a^2+1/a^3+1/a^4+……=1/(a-1)
となっています。この式は無限等比級数の和の公式として有名です。
分子を自然数にするとどうなるでしょうか？
つまり、
1/a+2/a^2+3/a^3+4/a^4+……
という式です。
これは実は無限等比級数の和を使い求めることができます。
1/a+1/a^2+1/a^3+1/a^4+……=1/(a-1)=Sとすると
1/a+2/a^2+3/a^3+4/a^4+……=S+1/a×S+1/a^2×S+1/a^3×S+1/a^4×S+……
=S(1+1/a+1/a^2+1/a^3*1/a^4+……)
=S(1+S)
と書くことができるのです。ご確認ください。
S=1/(a-1)だったので、
S(1+S)=a/(a-1)^2
つまり、
1/a+2/a^2+3/a^3+4/a^4+……=a/(a-1)^2
であることが分かります。
同様にして、分子を三角数にしたものの値は自然数のときの和と無限等比級数の和を使い求めることができます。
1/a+2/a^2+3/a^3+4/a^4+……=a/(a-1)^2=M
とすると、
1/a+3/a^2+6/a^3+10/a^4+……=M(1+1/a+1/a^2+1/a^3+……)
=M(1+S)
=a^2/(a-1)^3
同様にして、一般のn次三角数の場合も求めることができます。
分子がn次三角数のときの和は、
a^n/(a-1)^(n+1)
です。
特に、a=2のとき、 分子がn次三角数のときの和は2^nになります。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
