自然数を小さい順に並べると
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……
となり、
三角数を小さい順に並べると
1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,……
となり、
三角錐数を小さい順に並べると
1,4,10,20,35,56,84,120,165,220,……
となります。
三角数や三角錐数についてはWikipediaにも詳しく書いてあるので、気になった方は見てみて下さい。
では、三角錐数に対応する数の敷き詰めの説明をします。
と言っても、簡単な敷き詰めです。
一番左下のマスを一行一列目とし、m行n列目(m,nは自然数)にはmnを入れます。
実際に書くと下のような敷き詰めになっています。
6 12 18 24 30 36
5 10 15 20 25 30
4 8 12 16 20 24
3 6 9 12 15 18
2 4 6 8 10 12
1 2 3 4 5 6
左上から右下を45度の角度で通る直線を考え、その直線を上にずらしていき、それぞれの直線が通る数の総和を求めていくと三角錐数が表れます。
具体的に計算すると
1
2＋2＝4
3＋4＋3＝10
4＋6＋6＋4＝20
5＋8＋9＋8＋5＝35
6＋10＋12＋12＋10＋6＝56
となり、確かに三角錐数が小さい順に表れました。
証明を書きます。
と言っても、ほとんど計算するだけです。
下からn番目の直線の上にある数の総和は
n×1＋(n-1)×2＋(n-2)×3＋(n-3)×4＋……＋2×(n-1)＋1×n
と書くことができ、これをシグマにして計算すると、n番目の三角錐数を表すn(n+1)(n+2)/6が表れます。
以上です お読みいただきありがとうございました！
