まず2-フィボナッチ数列、つまり普通のフィボナッチ数列の場合を例にあげます。
f(1)=1,f(2)=0,f(n)+f(n+1)=f(n+2)とフィボナッチ型数列f(n)を定義すると、
f(n)+f(n-1)+f(n-2)……+f(2)+f(1)がn番目の(初期値が1,1の)フィボナッチ数列になることに気付きました。
↓数列f(n)
1,0,1,1,2,3,5,8,13,21
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55
次に3-フィボナッチ数列の場合を見てみます。
f(1)=1,f(2)=1,f(3)=1,f(n)+f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)とトリボナッチ型数列f(n)を定義すると
f(n)+f(n-2)+f(n-4)+……+f(n-2a) (0＜n-2a≦2)がn番目の(初期値が1,1,2の)トリボナッチ数列になるようです。
↓数列f(n)
1,1,1,3,5,9,17,31,57,105,……
↓トリボナッチ数列
1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,……
実際に、
1=1
1=1
1+1=2
3+1=4
5+1+1=7
9+3+1=13
17+5+1+1=24
31+9+3+1=44
57+17+5+1+1=81
105+31+9+3+1=149
となって、f(n)の和からトリボナッチ数列が現れています。
では一般のk-フィボナッチ数列の場合を見てみましょう
f(1)=1,f(m)=2^(m-2) (ただし2≦m≦k-1),f(k)=2^(k-2)-1,
f(n)+f(n+1)+f(n+2)+……+f(n+k-1)=f(n+k)とf(n)を定義すると
f(n)+f(n-(k-1))+f(n-2(k-1))+……+f(n-a(k-1)) (0＜n-a(k-1)≦k-1)
がn番目の(初期値が1,1,2,4,……,2^(k-2)の)k-フィボナッチ数列になる。と予想しました。
証明などできた方いたら、教えてくれると嬉しいです。
