その1の続きです。
その1では2次k-1角数が現れるような1次k角数を並べた表を記したので、それ以上の次数のk-1角数とk角数の表について記していきたいと思います。
3次k-1角数が現れるような2次k角数を並べた表は、2次k-1角数が現れるような1次k角数を並べた表から作ることができます。
とは言っても簡単で、3次k-1角数が現れるような2次k角数を並べた表のa行目b列の数は、2次k-1角数が現れるような1次k角数を並べた表のb列の1行目からa行目までの数を足し合わせたものになるというだけです。
一般に、x次k-1角数が現れるようなx-1次k角数を並べた表のa行目b列の数は、x-1次k-1角数が現れるようなx-2次k角数を並べた表のb列の1行目からa行目までの数を足し合わせたものになると予想しています。(xは3以上の整数とする)
例をあげると、
まず、2次四角数が現れるような1次五角数の表は
1 2 3 4 5
4 6 8 10 12
7 9 11 13 15
10 12 14 16 18
13 15 17 19 21
このようなものだったので、(その１参照)
3次四角数が現れるような2次五角数の表は
1 2 3 4 5
5 8 11 14 17
12 17 22 27 32
22 29 36 43 50
35 44 53 62 71
このようなものになります。
4次四角数が現れるような3次五角数の表は
1 2 3 4 5
6 10 14 18 22
18 27 36 45 64
40 56 72 88 114
75 100 125 150 185
このようなものになります。どこか計算ミスしていたらすみません。
「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」の拡張ができたわけですけど、あんまり綺麗な形にならなかったなぁというのが正直な感想です。「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」が綺麗な形だっただけに。
それでもn次k-1角数がn-1次k角数の表から表れるというのは、それなりに面白い結果なのではないかと思います。次元があがる代償に角がひとつ減るというのは、何かの意味で自然な気がします。
お読みいただきありがとうございました。
