1次k角数、2次k角数、3次k角数、……を総称してk角数系と呼ぶことにします。
普通のパスカルの三角形は、3角数系で構成されています。
1
11
121
1331
14641
1510 1051
1 6 15 20 15 6 1
各行の一番左の数は0次三角数、左から2番目の数は1次三角数、左から3番目の数は2次三角数、左からa番目の数はa-1次三角数になっています。
これを一般化して、k角数系で構成されたパスカルの三角形はないのかと思い、調べたところ見つけました。
一行目は置いておいて、二行目、つまり2つ数が並ぶ時点から書きます。
(k-2) 1
(k-2) (k-1) 1
(k-2) (2k-3) k 1
(k-2)(3k-5)(3k-3)(k+1)1
(k-2)(4k-7)(6k-8)(4k-2)(k+2)1
(k-2)(5k-9)(10k-15)(10k-10)(5k)(k+3)1
このようなパスカルの三角形です。
初期値が違うだけで、計算方法は普通のパスカルの三角形と同じく、上の2つの数を足して下の数を出しています。
各行の一番左の数は0次k角数、左から2番目の数は1次k角数、左から3番目の数は2次k角数、左からa番目の数はa-1次k角数になっています。
このことは、k番目のm次n角数とk-1番目のm+1次n角数の和がk番目のm+1次n角数になることから、すぐに証明できます。
例をあげると、4角数系で構成されたパスカルの三角形は、k=4を代入して
2 1
2 3 1
2 5 4 1
2 7 9 5 1
2 9 16 14 6 1
2 11 25 30 20 7 1
となります。
それぞれの行の左から3番目に、2次四角数、つまり平方数が並んでいるのが分かります。
なにかあれば、コメントお願いします。