明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

k角数系で構成されるパスカルの三角形

1次k角数、2次k角数、3次k角数、……を総称してk角数系と呼ぶことにします。

 

普通のパスカルの三角形は、3角数系で構成されています。

 

 

11
121
1331
14641
1510 1051
1 6 15 20 15 6 1

 

各行の一番左の数は0次三角数、左から2番目の数は1次三角数、左から3番目の数は2次三角数、左からa番目の数はa-1次三角数になっています。

 

これを一般化して、k角数系で構成されたパスカルの三角形はないのかと思い、調べたところ見つけました。

 

一行目は置いておいて、二行目、つまり2つ数が並ぶ時点から書きます。

 

 

(k-2)  1
(k-2)  (k-1)  1
(k-2) (2k-3)  k   1
(k-2)(3k-5)(3k-3)(k+1)1
(k-2)(4k-7)(6k-8)(4k-2)(k+2)1
(k-2)(5k-9)(10k-15)(10k-10)(5k)(k+3)1

 

このようなパスカルの三角形です。

 

初期値が違うだけで、計算方法は普通のパスカルの三角形と同じく、上の2つの数を足して下の数を出しています。 

各行の一番左の数は0次k角数、左から2番目の数は1次k角数、左から3番目の数は2次k角数、左からa番目の数はa-1次k角数になっています。

このことは、k番目のm次n角数とk-1番目のm+1次n角数の和がk番目のm+1次n角数になることから、すぐに証明できます。

 

例をあげると、4角数系で構成されたパスカルの三角形は、k=4を代入して

 
2   1
 2   3   1
2   5   4  1
2    7   9   5   1
2   9  16  14   6   1
2   11  25  30   20  7   1

 

となります。

 

 それぞれの行の左から3番目に、2次四角数、つまり平方数が並んでいるのが分かります。

 

 

なにかあれば、コメントお願いします。