明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

aのべき乗が現れるパスカルの三角形

(普通のパスカルの三角形からフィボナッチ数列を取り出すときのように)斜めに足していくことでaのべき乗が現れるようなパスカルの三角形を思いつきました。

 

まず、a=2、つまり2のべき乗の場合から見てみます。

 

左上の数の倍と右上の数の和が下の数になるようにしてパスカルの三角形を作ると、左下から右上へ斜めに足していくと2のべき乗が現れます。

 

A B
C

となっているとき、C=2A+Bになっているということです。

 

一番上の行には、1を二つ並べます。

そうすると、下の図のようなパスカルの三角形になります。

 
11
1 3  2
1  5  8   4
1 7  18  20  8
1 9  32  56 48 16

 

実際に計算すると、

1=1

1+1=2

1+3=4

1+5+2=8

1+7+8=16

 

と、確かに2のべき乗が現れました。

 

一般のaのべき乗が現れるパスカルの三角形は、

左上の数のa倍と右上の数の(a-1)倍の和が下の数になるようにすると作ることができます。一番上の行には、2のべき乗のときと同じく1を二つ並べます。

 

「一般フィボナッチ数列とべき乗」で書いた、

af(n)+(a-1)f(n+1)=f(n+2) f(0)=0,f(1)=1

g(n)=f(n)+f(n+1)

とするとき、

g(n)=a^n

になっている、ということと、今回の投稿内容に似たところがあって面白いなぁと思います。

 

なにか思うところあれば気軽にコメントお願いします。