「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」の拡張です。
分かりやすくする為、「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」に書いた内容を書き換えて、三角形状ではなく四角形状にします。
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9
の上を通る、急な角度の左下から右上に伸びる直線を書き、その直線が通る数の和を出していきます。
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9
1=1
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9
3=3
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9
5+1=6
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9
7+3=10
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9
9+5+1=15
このような直線のとり方です。
さて、「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」で書いた内容は、n-1次四角数を並べたものから、n次三角数が表れる、というものでした。
これを一般化します。
まず、例をあげます。1次五角数の並びから2次四角数が表れるものです。
一番左の列に1次五角数を並べ、右に一つ移動するたびに、一番上の行は+1、それ以外の行は+2することでできるような数の並びから、2次四角数、つまり平方数が表れます。
1次五角数は僕の造語で、n番目の五角数の総和がn番目の五角数になるようなものです。小さい順に1,4,7,10,13,……と続いていきます。
1 2 3 4 5
4 6 8 10 12
7 9 11 13 15
10 12 14 16 18
13 15 17 19 21
実際に計算すると、
1=1
4=4
7+2=9
10+6=16
13+9+3=25
と、確かに平方数が表れました。
一般に、2次k-1角数が現れるような1次k角数を並べた表は
1 k-3 2k-7 3k-11 4k-15
k-1 3k-9 5k-17 7k-25 9k-33
2k-3 4k-11 6k-19 8k-27 10k-35
3k-5 5k-13 7k-21 9k-29 11k-37
4k-7 6k-15 8k-23 10k-31 12k-39
このようになります。
一番左の列は1次k角数を上から小さい順に並べたものになっていて、右に一つ分移動するごとに、一番上の行のみ+k-4し、二行目以降の行は+2k-8した表です。
諸々の証明はできていません。すみません。
2次k角数を並べた表から現れる3次k-1角数や、それ以上の次元の場合はその2で説明します。