明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

n-1次k角数を並べた表から現れるn次k-1角数 その1

「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」の拡張です。

分かりやすくする為、「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」に書いた内容を書き換えて、三角形状ではなく四角形状にします。

 

1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9

 

の上を通る、急な角度の左下から右上に伸びる直線を書き、その直線が通る数の和を出していきます。

 

1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9

1=1

 

1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9

3=3

 

1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9

5+1=6

 

1 1 1 1 1
3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9

7+3=10

 

1 1 1 1 1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 5
7 7 7 7 7
9 9 9 9 9

9+5+1=15

 

このような直線のとり方です。

さて、「n次三角数とn次四角数を繋ぐ三角形」で書いた内容は、n-1次四角数を並べたものから、n次三角数が表れる、というものでした。

 

これを一般化します。

まず、例をあげます。1次五角数の並びから2次四角数が表れるものです。

一番左の列に1次五角数を並べ、右に一つ移動するたびに、一番上の行は+1、それ以外の行は+2することでできるような数の並びから、2次四角数、つまり平方数が表れます。

 1次五角数は僕の造語で、n番目の五角数の総和がn番目の五角数になるようなものです。小さい順に1,4,7,10,13,……と続いていきます。

 

  1   2   3   4   5
  4   6   8 10 12
  7   9 11 13 15
10 12 14 16 18
13 15 17 19 21

実際に計算すると、

1=1

4=4

7+2=9

10+6=16

13+9+3=25

と、確かに平方数が表れました。

 

 一般に、2次k-1角数が現れるような1次k角数を並べた表は

 

     1       k-3     2k-7   3k-11    4k-15
  k-1  3k-9   5k-17   7k-25    9k-33
2k-3   4k-11   6k-19   8k-27  10k-35
3k-5   5k-13  7k-21   9k-29   11k-37
4k-7   6k-15  8k-23  10k-31  12k-39

 

このようになります。

一番左の列は1次k角数を上から小さい順に並べたものになっていて、右に一つ分移動するごとに、一番上の行のみ+k-4し、二行目以降の行は+2k-8した表です。

諸々の証明はできていません。すみません。

 

2次k角数を並べた表から現れる3次k-1角数や、それ以上の次元の場合はその2で説明します。