「三角錐数に対応する数の敷き詰め」の拡張を書きます
タイトルの高次三角数というのは僕の造語です
n次三角数を小さい順に足したものをn+1次三角数と呼ぶことにします
1,5,15,35,70,126,210,……
となり、
5次三角数は
1,6,21,56,126,256,466,……
となります
n番目の5次三角数はh+j+k=n+2(ただしh,i,jは自然数)とするときの考え得るh×i×jの総和になっているらしいことに気付きました。証明はできていません
n=1のとき、
1×1×1=1
n=2のとき、
2×1×1+1×2×1+1×1×2=6
n=3のとき(ここから省略して書きます)
(3×1×1)×3+(2×2×1)×3=21
n=4のとき
(4×1×1)×3+(3×2×1)×6+2×2×2=56
n=5のとき
(5×1×1)×3+(4×2×1)×6+(3×3×1)×3+(3×2×2)×3=126
となって、確かに5次三角数が小さい順に表れます
一般化して
n番目の7次三角数は
h[1]+h[2]+h[3]+h[4]=n+3(ただしh[x]は自然数)
とするときの考え得る h[1]×h[2]×h[3]×h[4] の総和に、
n番目の2m-1次三角数は
h[1]+h[2]+……+h[m]=n+m-1(ただしh[x]は自然数)
とするときの考え得る h[1]×h[2]×……×h[m] の総和になっているだろうと予想しています。
h[1]+h[2]+……+h[m]=n+m-1とするときの考え得る h[1]×h[2]×……×h[m]は、
m次元の九九で、(m-1)次元上に並んでいるな、と思います
おそらく有名な事実だと思いますが、楽しいなと思いました
以上です お読みいただきありがとうございました!