a,b,n,x,yを正の整数、x,yはnと互いに素であるとします
nの倍数をaで割った商がx、余りがy
nの倍数をbで割った商がy、余りがxになるとき
（ab－1）がnの倍数になることに気づきました
例えば
11を4で割った商は2、余りは3
11を3で割った商は3、余りは2で
（4×3－1）は11なので、11の倍数になっています
証明します
nの倍数をaで割った商がx、余りがy
nの倍数をbで割った商がy、余りがx
を式にすると
ax＋y＝0（mod n）
by＋x＝0（mod n）
となります
y＝－ax（mod n）をby＋x＝0（mod n）に代入すると
b（－ax）＋x＝0（mod n）
つまり
abx－x＝0（mod n）
となるので両辺をxで割ると
ab－1＝0（mod n）
になり、（ab－1）がnの倍数になることが示せました
また
ax＋y＝0（mod n）
by＋x＝0（mod n）
ならば
ax＋y＝by＋x（mod n）
なのでこれを式変形すると
(a－1)x＝(b－1)y（mod n）
となり、(b－1)がnと互いに素ならば
(a－1)/(b－1)＝y/x（mod n）
が成立します
11を2から10の数で割った、商と余りを並べてみます
11÷2＝5あまり1
11÷3＝3あまり2
11÷4＝2あまり3
11÷5＝2あまり1
11÷6＝1あまり5
11÷7＝1あまり4
11÷8＝1あまり3
11÷9＝1あまり2
11÷10＝1あまり1
これをab－1＝0（mod n）となるような組に並べ替えると
11÷2＝5あまり1 11÷6＝1あまり5
11÷3＝3あまり2 11÷4＝2あまり3
11÷5＝2あまり1 11÷9＝1あまり2
11÷7＝1あまり4 11÷8＝1あまり3
11÷10＝1あまり1 11÷10＝1あまり1
となり、7,8の組以外は商と余りがひっくり返ったものになっています
また
2,6の組の商と余りに1,5
3,4の組の商と余りに2,3
と、割る数より1小さい数の組が商と余りになっているものがあります
これは上に書いた
(a－1)/(b－1)＝y/x（mod n）
が成立しているからです
5,9の組の商と余りが1,2 なのは
(5－1)/(9－1)＝4/8＝1/2
という分数の約分に対応しています
5で割った商が8、余りが4になるような数は
44（＝8×5＋4）と11より大きいので
(5－1)/(9－1)が約分でき分母と分子が小さくなるから、11でも5,9で割った商と余りがひっくり返ったものになると言えます
7,8の組の商と余りはひっくり返ったものになっていませんが
55÷7＝7あまり6 55÷8＝6あまり7
と、11の倍数の55では商と余りは対応し、7,8より1小さい6,7 が商と余りになっています
11÷7＝1あまり4 11÷8＝1あまり3
22÷7＝3あまり1 22÷8＝2あまり6
33÷7＝4あまり5 33÷8＝4あまり1
44÷7＝6あまり2 44÷8＝5あまり4
55÷7＝7あまり6 55÷8＝6あまり7
と11の倍数を割ったものを並べると
11の倍数を7で割ったときの商と余りをひっくり返したものが
他の11の倍数を8で割ったときの商と余りになっていることが分かります
商と余りについての素朴な内容ですが、楽しいなと思います
以上です お読みいただきありがとうございました！
2020/7/28追記
定義に誤りがあったので修正しました 主張自体は変わっていません
