明るい夜のまばたき

数が降る街

数学で考えたことを書いています

不等式の複素数への拡張

実数aより実数bが大きいときはa<b、

aよりbが小さいときはa>bと書き、このような式を不等式と言います

つまり、原点から右側が正、左側が負になっている数直線で考えるとき

数直線上でaの右にbがあればa<b、aの左にbがあればa>bとなっています

 

 

原点の右側に実部が正の数の複素数

上側に虚部が正の数の複素数があるような複素平面を考えます(一般的な、よく見る複素平面です)

c,dを複素数、nを正の実数とし、c+n=eとします

∠dceがα度ならばc〔α°〕dと書くことにするとき、

この書き方は、不等式の複素数への一つの拡張になることに気付きました

 

例えば c=0,d=1+iのときは、0〔45°〕(1+i)と書けます

a<bなら a〔0°〕b

a>bなら a〔180°〕bとなります

また

c〔α°〕d、0〔β°〕f ならば、

cf〔(α+β)°〕df となります

証明は、c〔α°〕d なら 0〔α°〕(d-c)なので

0〔(α+β)°〕f(d-c) と分かり、cf〔(α+β)°〕df だと示せます(偏角の考え方を使いました)

 

また、c〔α°〕d なら d〔(α+180)°〕cになっています

 

c〔90°〕dならば

 d

 ◇

 c

 

c〔45°〕dならば

   d

  ◇

c

というように、角度を視覚的に表記した式にしても、面白いと思います

 

偏角の、原点以外も中心に考えるバージョンという感じで、楽しいと思いました

以上です! お読み頂きありがとうございました!!