aを10と互いに素な自然数、
pをa×p＋1 が10の倍数になる1桁の正の数、
bを、10^nをaで割ったときの余りとするとき、
b×pを10で割った余りは、1/a の小数第n位と一致することに気付きました。
例としてa＝7のときを見てみます
7×7＋1 が10の倍数なので、p＝7です
10÷7の余りは3
100÷7の余りは2
1000÷7の余りは6
10000÷7の余りは4
100000÷7の余りは5
1000000÷7の余りは1
10000000÷7の余りは3
となり、
10^nを7で割った余りは 3,2,6,4,5,1 を繰り返します
3,2,6,4,5,1 に7(＝p)を掛けると 21,14,42,28,35,7 になり
10で割った余りは1,4,2,8,5,7 です
これは、1/7を小数表記した0.142857142857…… と同じ数の列なので、
a＝7のときに、b×pを10で割った余りが1/a の小数第n位と一致することが分かりました。
では証明をします。
10^nをaで割ったときの商をz、余りを(今まで通り)bとすると
10^n＝az＋b です
z の一の位が1/a の小数第n位になります
10^n＝az＋b を mod 10 で考えると、
0＝az＋b (mod 10)
つまり
－b/a＝z (mod 10) となります
a×p＋1 が10の倍数であることより a＝－1/p (mod 10) なので、これを代入すると
b×p＝z (mod 10)
なので、b×pとzの一の位が同じだと分かります
zの一の位は 1/aの小数第n位なので、証明できました。
余りをp倍すると商が現れるのは、シンプルで綺麗だな～と思います
以上です お読みいただきありがとうございました！
