120度の角をもつ、三辺が整数の三角形をアイゼンシュタイン三角形と言います
この記事では
アイゼンシュタイン三角形を120度整数三角形
60度の角をもつ三辺が整数の三角形を60度整数三角形
と呼ぶことにします
i=√(-1)とし、ω=(1+(√3)i)/2とします
ωは6乗して初めて1になる数です
ω^6=1
また、1ーω+ω^2=0が成立します
なぜなら、ω^6=1よりω^3=-1なので
1ーω+ω^2=1+ω^2+ω^4
となり
(1+ω^2+ω^4)×ω^2=1+ω^2+ω^4
と、1でない数ω^2を掛けても(1+ω^2+ω^4)が値を変えないことから
1+ω^2+ω^4が0であること
つまり1-ω+ω^2=0が示せるからです
さて、a,bを整数とするとき
(a+bω)を2乗することで、120度整数三角形の二辺や60度整数三角形の二辺が表れることに気付きました
(a+bω)^2=c+dω=e+fω^2
とするとき
c,dは120度整数三角形の120度の角をつくる二辺の長さに、
e,fは60度整数三角形の60度の角をつくる二辺の長さになります
ただし、c,dのどちらか片方が負の数のときは
|c|,|d|(c,dの絶対値)が60度整数三角形の60度の角をつくる二辺の長さになり、
e,fのどちらか片方が負の数のときも同様に
|e|,|f|(e,fの絶対値)が120度整数三角形の120度の角をつくる二辺の長さになります
証明します
a+bω=(a+b/2)+(√3)b/2×iより、
(a+bω)という複素数の絶対値が√(a^2+ab+b^2)
だと分かるので
(a+bω)^2の絶対値は(a^2+ab+b^2)となり、整数です
(a+bω)^2
=a^2+2abω+b^2×ω^2
=(a^2-b^2)+(2ab+b^2)ω
(1-ω+ω^2=0より、-b^2+b^2×ω-b^2×ω^2(=0)を代入しました)
なので、c(=a^2-b^2)とd(=2ab+b^2)も整数です
よって、c,dが正の数であれば、
複素平面で原点,c,c+dωを頂点とする三角形は、角cが120度の120度整数三角形になると分かります。
c,dの片方が負の数であれば60度整数三角形に、
c,dの両方が負の数であれば120度整数三角形になります。
また、
(a+bω)^2
=a^2+2abω+b^2×ω^2
=(a^2+2ab)+(b^2+2ab)ω^2
(2ab-2ab×ω+2ab×ω^2(=0)を代入しました)
なので、e(=a^2+2ab)とf(=b^2+2ab)も整数だと分かり
e,fが正の数であれば、
複素平面で原点,e,e+fω^2を頂点とする三角形は、角eが60度の60度整数三角形になると分かります。
e,fの片方が負の数であれば120度整数三角形に、
e,fの両方が負の数であれば60度整数三角形になります。
ちなみに
複素平面で原点,g,g+hωを頂点とする三角形が角gが120度の120度整数三角形で
同様に原点,j,j+kωを頂点とする三角形も角jが120度の120度整数三角形のとき
(g+hω)×(j+kω)=m+nωとすると
(m,nが正の数ならば)原点,m,m+nωを頂点とする三角形もまた、角mが120度の120度整数三角形になります
以前の記事「ピタゴラス数と複素平面」で、ピタゴラス数(つまり90度の整数三角形)で成り立つと分かったことが、今回120度や60度の整数三角形でも同様に成立すると分かり、とてもおもしろい!!と思いました
以上です! お読み頂きありがとうございました!!