無限等比級数の公式より
－1＜r＜1とするとき
1＋r＋r^2＋r^3＋r^4＋……＝1/(1－r)です。
例としてr＝1/2を考えると
1＋1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋……＝1/(1－1/2)＝1/(1/2)＝2
となり、これは2進数で
1.11111111……＝10
と書けます。
さて、r＝0.1×s(－10＜s＜10)とすると
1＋(0.1×s)＋(0.1×s)^2＋(0.1×s)^3＋(0.1×s)^4＋……＝1/(1－(0.1×s))＝10/(10－s)
となり、両辺に0.1をかけると
0.1＋0.01×s＋0.001×s^2＋0.0001×s^3＋……＝1/(10－s)
となります。
Aという実数の
10進数表記した際の整数部分をa[0]、小数点第n位をa[n]とし
{a[0],a[1],a[2],a[3],……}とAを表記することにします。
さっき書いた
0.1＋0.01×s＋0.001×s^2＋0.0001×s^3＋……＝1/(10－s)
はこの表記を使って
{0,1,s,s^2,s^3,……}＝1/(10－s)
と書けます。
sに2を代入すると
{0,1,2,4,8,……}＝1/8＝0.125
となり
整数部分が0、小数点第n位が2^(n－1)の数は
1/8(＝0.125)になることが分かります。
同様に、整数部分が0、小数点第n位が3^(n－1)の数は
1/7になると分かります。
1/7は0.14285714285714……と小数点以下で142857を循環するので
3の累乗を繰り上げていくと、142857の循環が生まれることが分かりました。
最後に、sに－1を代入してみると
{0,1,－1,1,－1,……}＝1/11
となり、1/11＝0.09090909……なので確かに負の数でもこの等式は成立しています。
無限等比級数の公式は有名ですが
小数点で考えると楽しいなと思いました。
以上です お読みいただきありがとうございました！
