mod p とは p で割った余りが同じ数同士を同一視するということです。
1＋1/2＋1/2^2＋1/2^3＋…… ＝2
という等式を、mod 5 で考えてみます。
1＋1/2＋1/2^2＋1/2^3＋…… ＝2 (mod 5)・・・☆
2×3＝6＝1 (mod 5) なので、1＝2×3 を2で割ると 1/2＝3 (mod 5) が分かります。1/2＝3 を☆に代入すると
1＋3＋3^2＋3^3＋…… ＝2 (mod 5)
という式が得られます。
mod 5 で 1＋3＋3^2＋3^3＋…… が2に等しいとは直感的に思えませんが、2に対しての特徴があったのでそのことについて書きます。
1＋3＋3^2＋3^3＋…… (mod 5)
を有限項までの和で止めたときに、2と等しくなることはありません。
1＝1 (mod 5)
1＋3＝4 (mod 5)
1＋3＋3^2＝3 (mod 5)
1＋3＋3^2＋3^3＝0 (mod 5)
となり、3^4＝1 (mod 5) なので a＝b (mod 4) ならば 3^a＝3^b (mod 5) であることから、
この後も1,4,3,0,1,4,3,0,……と繰り返すからです。
mod 5 における整数｛0,1,2,3,4｝の内、2だけが有限和で現れません。
また、有限項までの和で止めたときの値の平均をとると2になります。
1,4,3,0,1,4,3,0,……と繰り返すので、1,4,3,0の平均をとると
(1＋4＋3＋0)/4＝8/4＝2 (mod 5)
と、確かに2です。
有限和で2にならない、有限和の平均が2になる、という二つの性質から、無限和が2であることが自然なように感じました。
この二つの性質は一般の場合にも成り立っています。
pを奇素数、nをn≠0,1(mod p)を満たす正の整数とします。
等比級数の公式より、
1＋1/n＋1/n^2＋1/n^3＋…… ＝n/(n－1)
です。これをmod p で考えます。
1＋1/n＋1/n^2＋1/n^3＋…… ＝n/(n－1) (mod p)
sを任意の正の整数とするとき、
1＋1/n＋1/n^2＋1/n^3＋…… (mod p) のs項までの有限和、
1＋1/n＋1/n^2＋1/n^3＋……＋1/n^(s－1) (mod p)
は n/(n－1) と等しくなりません。
1＋1/n＋1/n^2＋1/n^3＋……＋1/n^(s－1)
＝(n^s－1)/( (n－1)n^(s－1) )
＝n^s/( (n－1)n^(s－1) ) － 1/( (n－1)n^(s－1) )
＝n/(n－1)－1/( (n－1)n^(s－1) )
となり 1/( (n－1)n^(s－1) ) ≠0 (mod p) なので、s項までの有限和は n/(n－1) になりません。
また、n^s ≠ n^t (mod p) ならば、
n/(n－1)－1/( (n－1)n^(s－1)) ≠ n/(n－1)－1/( (n－1)n^(t－1)) (mod p)
なので、
s,tがnの位数より小さく s≠t であれば、
s項までの有限和とt項までの有限和は等しくなりません。
なのでnがpの原始根のときは、
mod pにおける整数の内n/(n－1)と等しくないもの全てが有限和に現れます。
（nの位数とは n^r＝1(mod p) となるような最小の正の整数rのことです。
また mod p において位数が(p－1)になる数をpの原始根と言います。）
では次に有限和の平均が n/(n－1) になることを示します。
mod p における0でない整数の位数は (p－1) の約数なので（フェルマーの小定理から示せます）、
(p－1)項目までの有限和の平均をとればいいです。
s項までの有限和が n/(n－1)－1/( (n－1)n^(s－1) ) だったので、
(p－1)項目までの有限和を足し合わせたものは、
n/(n－1)－1/( (n－1)n^(1－1) )
＋n/(n－1)－1/( (n－1)n^(2－1) )
＋n/(n－1)－1/( (n－1)n^(3－1) )
＋…………
＋n/(n－1)－1/( (n－1)n^(p－1－1) ) (mod p)
だと分かります。
これを整理すると
(p－1)×n/(n－1)－(1＋1/n＋1/n^2＋……＋1/n^(p－2))×1/(n－1)
＝(p－1)×n/(n－1) (mod p)
となります。
（フェルマーの小定理 n^(p－1)－1＝0 (mod p) の両辺を (n－1)n^(p－2) で割った、
1＋1/n＋1/n^2＋……＋1/n^(p－2)＝0 を代入しました。）
平均をとりたいので、この(p－1)個の有限和を足し合わせたものを(p－1)で割ると
(p－1)×n/(n－1)×1/(p－1)＝n/(n－1) (mod p)
となり、平均がn/(n－1)になることが示せました。
等比級数を mod p で考えたとき、
無限和の値が有限和に現れず（nがpの原始根なら無限和の値のみが現れず）、有限和の平均が無限和の値になることを綺麗だなと感じます。
以上です。お読みいただきありがとうございました！
