三角数系は僕の造語なので説明すると
三角数を一般次元まで拡張したものの総称です。
三角数は、小さい順に並べると
1,3,6,10,15,21,28,……
というもので、隣り合う項の差をとると
1,2,3,4,5,6,7,……
と自然数の列になります。
k次三角数の、1項目から各項までの和をそれぞれとったものを
k+1次三角数と定義します。
3次三角数は 1,4,10,20,35,56,84,……
4次三角数は 1,5,15,35,70,126,210,……
となります。次数を下げたものを見ると
1次三角数は 1,2,3,4,5,6,7,……
0次三角数は 1,1,1,1,1,1,1,……
-1次三角数は 1,0,0,0,0,0,0,……
-2次三角数は 1,-1,0,0,0,0,0,……
-3次三角数は 1,-2,1,0,0,0,0,……
-4次三角数は 1,-3,3,-1,0,0,0,……
となります
-n次三角数は、
パスカルの三角形のn行目に一つおきに負の符号をつけたものと、同じになるようです。
それぞれのk次三角数で、掛けると次の項になるような数を並べていくと、どうやら比例になっていることに気付きました。
掛けると次の項になるような数を並べていくと
0次三角数は ×1,×1,×1,×1,×1,×1,……
1次三角数は ×2,×3/2,×4/3,×5/4,×6/5,×7/6,……
2次三角数は ×3,×2,×5/3,×3/2,×7/5,×4/3,……
3次三角数は ×4,×5/2,×2,×7/4,×8/5,×3/2,……
4次三角数は ×5,×3,×7/3,×2,×9/5,×5/3,……
となり、縦の列で見ると比例になっています。
1列目は1ずつ、2列目は1/2ずつ、3列目は1/3ずつ、
n列目は1/nずつ値が増えていっています。
この比例を負の次数まで考えて、負の次数の三角数に当てはめてみても矛盾なかったです。
パスカルの三角形の各行で、掛けると次の項になるような数を並べても比例になっているようです。
楽しいね！
以上です！ お読みいただきありがとうございました！
